[論文レビュー] Weyl sums and the Lyapunov exponent for the skew-shift Schrödinger cocycle

Rui Han, Marius Lemm+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2018

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ポテンシャル $ 2ackslashlambda\cos(2\pi(\binom{j}{2}\omega + jy + x)) $ を持つスケイプシフトシュレーディンガー作用素のゼロエネルギーのリャプノフ指数 $ L(\lambda) $ を摂動論的アプローチで解析する。$ \lambda $ の2次までの展開において、$ L(\lambda) $ の上界が $ \lambda \to 0 $ のとき $ L(\lambda) \sim C\lambda^2 $ と整合することを確立し、任意に小さい $ \lambda > 0 $ におけるアンドリュー局在の予想を支持する。また、この解析に不可欠な2次ウェイル和に関する新たな下界を証明する。

ABSTRACT

We study the one-dimensional discrete Schrödinger operator with the skew-shift potential $2λ\cos\left(2π\left(\binom{j}{2} ω+jy+x ight) ight)$. This potential is long conjectured to behave like a random one, i.e., it is expected to produce Anderson localization for arbitrarily small coupling constants $λ>0$. In this paper, we introduce a novel perturbative approach for studying the zero-energy Lyapunov exponent $L(λ)$ at small $λ$. Our main results establish that, to second order in perturbation theory, a natural upper bound on $L(λ)$ is fully consistent with $L(λ)$ being positive and satisfying the usual Figotin-Pastur type asymptotics $L(λ)\sim Cλ^2$ as $λ o 0$. The analogous quantity behaves completely differently in the Almost-Mathieu model, whose zero-energy Lyapunov exponent vanishes for $λ<1$. The main technical work consists in establishing good lower bounds on the exponential sums (quadratic Weyl sums) that appear in our perturbation series.

研究の動機と目的

• 予想されているように、スケイプシフトシュレーディンガー作用素が任意に小さい結合定数 $ \lambda > 0 $ に対してアンドリュー局在を示すかどうかを調査すること。
• 小$ \lambda $ 範囲において、新しい摂動論的手法を用いてゼロエネルギーのリャプノフ指数 $ L(\lambda) $ を解析すること。
• $ L(\lambda) $ の摂動展開に現れる2次ウェイル和に関する厳密な下界を確立し、リャプノフ指数を制御するために不可欠である。
• スケイプシフトモデルと、$ \lambda < 1 $ のとき $ L(\lambda,0) = 0 $ となるアラウンド・マティュー・モデルとの挙動を対比し、スケイプシフトポテンシャルが有する特徴的な力学的性質を浮き彫りにすること。

提案手法

• シュレーディンガーコセイルの遷移行列形式を用いて、ゼロエネルギーのリャプノフ指数 $ L(\lambda) $ の摂動展開を $ \lambda $ の2次まで展開する。
• この手法は、摂動級数の2次係数の分析に依存し、形式 $ \sum_{j=1}^{n} e[\omega(j^2 - j)] $ の指数和、いわゆる2次ウェイル和を含む。
• 三角恒等式および指数和の性質を用いて、$ n $ に依存しない非自明な上界を2次係数 $ \tilde{\alpha}_2 $ に対して導出する。
• ウェイル和 $ S_n = \sum_{j=1}^n e[\omega(j^2 - j)] $ に対して、$ L(\lambda) $ が小さい $ \lambda $ で正のままであることを証明するために不可欠な重要な下界を確立する。
• 均質的力学の技術、特にウェイル和の不変性原理を活用し、[CelMar] のタイトネス結果を有理数の場合 $ c_1 = -1 $ にまで拡張する。
• 時間で正規化され補間されたパスをもつ確率過程 $ X_n(t) $ を定義し、ウィエンァー空間におけるウェイル和のパスワイズ挙動を研究することで、弱収束の議論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケイプシフトシュレーディンガー作用素のゼロエネルギーのリャプノフ指数 $ L(\lambda) $ は、任意に小さい $ \lambda > 0 $ に対しても正のままであるか。これはアンドリュー局在を示唆する。
• RQ2 $ \lambda $ の2次までの摂動展開を用いて、$ \lambda \to 0 $ のときの漸近的挙動 $ L(\lambda) \sim C\lambda^2 $ が確認できるか。
• RQ3 摂動級数に現れるウェイル和 $ \sum_{j=1}^n e[\omega(j^2 - j)] $ の挙動はいかなるものか。また、それらに対してどのような下界を確立できるか。
• RQ4 スケイプシフトモデルの挙動は、$ \lambda < 1 $ のとき $ L(\lambda,0) = 0 $ となるアラウンド・マティュー・モデルとどのように異なるか。特に、小$ \lambda $ におけるゼロエネルギーのリャプノフ指数の挙動に注目する。

主な発見

• 2次摂動係数 $ \tilde{\alpha}_2 $ は、$ \frac{2}{\cos^2(\pi\omega)} $ で上界が与えられ、これは $ n $ に依存しない。この上界は摂動級数の制御に不可欠である。
• 摂動展開から得られた $ L(\lambda) $ の上界が、$ \lambda \to 0 $ のとき $ L(\lambda) \sim C\lambda^2 $ と完全に整合することが確認された。
• ウェイル和 $ S_n = \sum_{j=1}^n e[\omega(j^2 - j)] $ は、摂動級数がゼロに収束しないことを保証する非自明な下界を満たしており、$ L(\lambda) $ の正の性質を支持する。
• 正規化され補間されたウェイル和のパスを表す確率過程 $ X_n(t) $ は、ウィエンァー空間において予備compact（pre-compact）であり、弱収束により極限過程 $ X_0 $ に収束することが示された。
• プロセス $ X_n $ のタイトネスは、$ c_1 = -1 $ の有理数の場合にも拡張可能であり、[CelMar] の完全な一様分布結果が適用されないにもかかわらず、この手法の頑健性を示している。
• 結果として、スケイプシフトポテンシャルが小結合定数で局在を引き起こす強力な証拠が得られた。これは、$ \lambda < 1 $ のとき $ L(\lambda,0) = 0 $ となるアラウンド・マティュー・モデルとは対照的である。