[論文レビュー] Weyl-Titchmarsh type formula for periodic Schroedinger operator with Wigner-von Neumann potential

Pavel Kurasov, Sergey Simonov|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、周期的背景ポテンシャルにWigner-von Neumann型ポテンシャルで摂動された1次元シュレーディンガー作用素について、Weyl-Titchmarsh型の公式を確立する。一般化固有関数の漸近的解析とスペクトル理論を用いて、摂動作用素のスペクトル密度と散乱振幅の関係を導出し、共鳴点においてスペクトル密度が消えることを証明する。これは絶対連続スペクトルにおける擬似ギャップの存在を示唆する。

ABSTRACT

Schroedinger operator on the half-line with periodic background potential perturbed by a certain potential of Wigner-von Neumann type is considered. The asymptotics of generalized eigenvectors for the values of the spectral parameter from the upper half-plane and on the absolutely continuous spectrum is established. Weyl-Titchmarsh type formula for this operator is proven.

研究の動機と目的

• 周期的ポテンシャルにWigner-von Neumann型ポテンシャルで摂動されたシュレーディンガー作用素のスペクトル密度に対するWeyl-Titchmarsh型の公式を確立すること。
• 半直線上における摂動作用素の一般化固有関数の漸近的挙動を分析すること。
• 特にスペクトル密度が消える点（擬似ギャップ）を含む、絶対連続スペクトルの構造を調査すること。
• 埋め込まれた固有値がスペクトルの臨界共鳴点に現れる条件を特定すること。

提案手法

• 周期的ポテンシャル、Wigner-von Neumann型摂動、可積分ポテンシャルを含む微分作用素として定義されたシュレーディンガー作用素を分析する。
• 複素スペクトルパラメータおよび実スペクトル上で有効な、修正されたHarris-Lutz変換法を用いて、一般化固有関数の漸近展開を導出する。
• サブオルダニイ理論を用いて、Weyl関数と散乱振幅の関係を確立し、スペクトルの絶対連続性を確認する。
• ブロッホ解のロンスキアンを用いて、スペクトル密度を散乱係数 $ A_{\beta}\left(\theta\right) $ の形で表現する。これは、解 $ \varphi_{\alpha}\left(x,\lambda\right) $ の漸近的挙動から導出される。
• Weyl関数の解析と実軸上での境界値の考察により、公式を導出する。これにより、$ A_{\alpha}\left(\lambda\right) $ の漸近係数と結びつける。
• 漸近的構造を破壊する可能性がある共鳴効果を避けるため、条件 $ \frac{2a\omega}{\pi} \notin \mathbb{Z} $ を課す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的ポテンシャルとWigner-von Neumann型摂動を有するシュレーディンガー作用素の、絶対連続スペクトル上におけるスペクトル密度の挙動はいかなるものか？
• RQ2 一般化固有関数 $ \varphi_{\alpha}\left(x,\lambda\right) $ が $ x \to \infty $ に於て、どのように漸近的に振る舞うか？
• RQ3 スペクトル密度が消える条件は何か？ その物理的・数学的意義は何か？
• RQ4 このような摂動を受ける周期的作用素に対して、Weyl-Titchmarsh型の公式を確立できるか？ また、散乱振幅とどのように関係するか？
• RQ5 漸近的挙動が変化する共鳴点（共鳴点）は、埋め込まれた固有値や擬似ギャップの出現にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 摂動作用素のスペクトル密度 $ \rho'_{\alpha}\left(\lambda\right) $ は、ほとんど至る所の $ \lambda \in \sigma\left(\mathcal{L}_{\text{per}}\right) $ に対して $ \frac{1}{2\pi |W\left(\psi_{+}, \psi_{-}\right)| |A_{\alpha}\left(\lambda\right)|^2} $ として与えられ、Weyl-Titchmarsh型の公式を確立する。
• 一般化固有関数 $ \varphi_{\alpha}\left(x,\lambda\right) $ の漸近的挙動は、$ x \to \infty $ において $ A_{\alpha}\left(\lambda\right)\psi_{-}\left(x,\lambda\right) + \overline{A_{\alpha}\left(\lambda\right)}\psi_{+}\left(x,\lambda\right) + o\left(1\right) $ と表され、スペクトル内のほとんど至る所の $ \lambda $ に対して有効である。
• 共鳴点（例：$ \lambda = \mu_n, \lambda_n $）においてスペクトル密度が消えることから、絶対連続スペクトルに擬似ギャップが存在することが示唆される。
• ロンスキアン $ W\left(\psi_{+}, \psi_{-}\right) $ は、スペクトル密度の公式における正規化因子として現れ、周期的作用素の固有のスペクトル構造を反映している。
• Weyl関数 $ m_{\alpha}\left(\lambda\right) $ は $ -A_{\alpha+\pi/2}\left(\lambda\right)/A_{\alpha}\left(\lambda\right) $ として表され、散乱係数と作用素のスペクトル理論を結びつける。
• 条件 $ \frac{2a\omega}{\pi} \notin \mathbb{Z} $ により、漸近展開およびスペクトル公式の構造を破壊する共鳴干渉が回避される。