[論文レビュー] What an infra-nilmanifold endomorphism really should be

Karel Dekimpe|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Franks や Gromov、Manning が依存する古典的定義におけるインフラ-nil多様体自己準同型の基礎的欠陥を特定し、特に Auslander の誤った定理に起因するものである。著者らは、インフラ-nil多様体自己準同型の狭い概念を、拡張されたアフィン自己準同型のクラスに置き換えるべきだと提唱する。アフィン自己準同型は、拡張写像およびAnosov微分同相写像を正しく特徴付けるために必要かつ十分であることが示されている。

ABSTRACT

Infra-nilmanifold endomorphisms were introduced in the late sixties. They play a very crucial role in dynamics, especially when studying expanding maps and Anosov diffeomorphisms. However, in this note we will explain that the two main results in this area are based on a false result and that although we can repair one of these two theorems, there remains doubt on the correctness of the other one. Moreover, we will also show that the notion of an infra-nilmanifold endomorphism itself has not always been interpreted in the same way. Finally, we define a slightly more general concept of the notion of an infra-nilmanifold endomorphism and explain why this is really the right concept to work with.

研究の動機と目的

• L. Auslander の定理がインフラ-nil多様体自己準同型理論の基礎をなすにあたり、その根本的な誤りを特定し是正すること。
• 古典的なインフラ-nil多様体自己準同型の定義が、拡張写像およびAnosov微分同相写像の力学的性質を正しく捉えるには不十分であることを示すこと。
• 自己準同型写像の一般化としてのアフィン自己準同型を提唱し、インフラ-nil多様体の自己写像を研究するための正しい、より包括的な概念を提供すること。
• Gromov の拡張写像に関する結果はアフィン自己準同型を用いることで是正可能であるが、Manning のAnosov微分同相写像に関する結果は、新しい枠組みのもとでも一般には未解決のままであること。
• Hirsch が提唱した元の定義と、Franks や Shub による後続の誤った解釈との違いを明確にし、一貫性のある正しい用語法および理論を確立すること。

提案手法

• インフラ-nil多様体自己準同型の定義の歴史的発展と矛盾を分析し、特に Hirsch の元の定義と Franks の後続的解釈を対比する。
• Auslander の定理2の誤った記述と証明が、文献に広がる複数の誤った結果の原因であることを同定する。
• Aff(N) = N ⋊ Aut(N) による作用に基づく、インフラ-nil多様体自己準同型の一般化としてのアフィン自己準同型の概念を導入する。
• 基本群 Γ ⊆ Nℚ ⋊ F の有理数的実現を用いて自己同型を上昇させ、Anosov微分同相写像から双曲的アフィン自己同型を構成する。
• virtually nilpotent 基本群およびホロノミー群の理論を適用し、任意のインフラ-nil多様体が有限被覆として nilmanifold に同型であることを示す。
• 任意のインフラ-nil多様体上のAnosov微分同相写像 f に対して、ある正の整数 n が存在し、fⁿ が Aff(N) の元による共役を通じて双曲的インフラ-nil多様体自己同型にホモトープであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ古典的なインフラ-nil多様体自己準同型の定義では、拡張写像およびAnosov微分同相写像の力学的性質を正しく捉えることができないのか？
• RQ2 Auslander の定理2の誤った記述が、インフラ-nil多様体自己準同型理論の主要な結果にどのように影響を及ぼしているのか？
• RQ3 インフラ-nil多様体上の拡張写像およびAnosov微分同相写像の理論は、インフラ-nil多様体自己準同型よりも広いクラスの写像を用いることで是正可能か？
• RQ4 インフラ-nil多様体上の任意のAnosov微分同相写像は、双曲的アフィン自己同型に位相的共役可能か？
• RQ5 インフラ-nil多様体上の写像の中で、特に力学系に対して、すべてのホモトピー類を表すために正しい、最も一般なクラスは何か？

主な発見

• L. Auslander の基礎的結果（[1] の定理2）は、記述および証明の両方で誤っており、Franks の論文[7]およびその応用分野の主要な結果を無効にしている。
• Franks や Shub が用いたインフラ-nil多様体自己準同型の古典的定義は、Hirsch の元の定義とは同値ではなく、誤った結論を導く。
• Aff(N) = N ⋊ Aut(N) の元によって誘導されるアフィン自己準同型のクラスは、インフラ-nil多様体の自己写像を研究するためのより広範かつ適切な枠組みである。
• Gromov が拡張写像がインフラ-nil多様体自己準同型に位相的共役可能であると主張する結果は、狭い定義の代わりにアフィン自己準同型の枠組みを用いることで是正可能である。
• nilmanifold に対しては、A. Manning のAnosov微分同相写像が双曲的自己同型に共役可能であるという結果は成立するが、インフラ-nil多様体への一般化は未解決のままである。
• インフラ-nil多様体にAnosov微分同相写像が存在するための必要十分条件は、その基本群が双曲的自己同型を含むことであり、そのような微分同相写像は有限被覆の上で双曲的アフィン自己同型に位相的共役可能である。