[論文レビュー] What are higher-order networks?

Christian Bick, Elizabeth Gross+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2021

Complex Network Analysis Techniques被引用数 32

ひとこと要約

この調査は高次ネットワークとは何か、なぜ重要か、そしてそれらが位相、関係データの統計、およびネットワーク動力学全体でどのように表現され使用され得るかを明らかにします。

ABSTRACT

Network-based modeling of complex systems and data using the language of graphs has become an essential topic across a range of different disciplines. Arguably, this graph-based perspective derives its success from the relative simplicity of graphs: A graph consists of nothing more than a set of vertices and a set of edges, describing relationships between pairs of such vertices. This simple combinatorial structure makes graphs interpretable and flexible modeling tools. The simplicity of graphs as system models, however, has been scrutinized in the literature recently. Specifically, it has been argued from a variety of different angles that there is a need for higher-order networks, which go beyond the paradigm of modeling pairwise relationships, as encapsulated by graphs. In this survey article we take stock of these recent developments. Our goals are to clarify (i) what higher-order networks are, (ii) why these are interesting objects of study, and (iii) how they can be used in applications.

研究の動機と目的

• 複数の分野にわたって高次ネットワークの概念と用語を明確にする。
• ハイパーグラフや抽象シンプリシャル複体などの数学的表現を説明する。
• データの位相と幾何学のツール、関係データの統計モデリング、および高次構造上のダイナミクスを総括的にレビューする。

提案手法

• グラフ、ハイパーグラフ、シンプリシャル複体の統一された定義を提示する。
• ホモロジーや持続的ホモロジーなどのトポロジー的データ解析の概念と、それらと高次構造との関連を説明する。
• ハイパーグラフとシンプリシャル複体を用いる関係データの統計的モデリング手法を論じる。
• 高次ネットワークのダイナミクス系を検討し、高次表現が必要な条件、またはダイアディック・モデルへ還元できる条件を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次ネットワークとは何か、そしてそれは伝統的なグラフベースの表現をどのように拡張するのか。
• RQ2 高次構造をどのように用いてデータの位相・幾何を理解できるか。
• RQ3 ハイパーグラフやシンプリシャル複体における関係データに適した統計モデルは何か。
• RQ4 高次の相互作用はネットワークのダイナミクスにどのような影響を与え、いつダイアディックダイナミクスへ還元できるか。

主な発見

• 高次ネットワークはハイパーグラフとシンプリシャル複体を用いて非二項・多元的相互作用を可能にすることで、グラフを一般化します。
• ホモロジーや持続的ホモロジーなどのトポロジカルツールは、高次構造から意味のあるデータ形状情報を抽出できます。
• 関係データは二項グラフへ還元するのではなく、直接ハイパーグラフやシンプリシャル複体でモデリングでき、より豊かな確率モデルを可能にします。
• 高次ネットワークのダイナミクスはダイアディック系とは異なる挙動を示すことがあるが、座標変換により実効的なダイアディック表現を得られる場合がある。
• 本論文は高次ネットワークの位相、統計、ダイナミクスを結ぶ統一的な枠組みを提供する。