[論文レビュー] What can quantum optics say about complexity theory

Saleh Rahimi-Keshari, Austin P. Lund+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2014

Quantum Information and Cryptography被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ガウス型入力を用いた線形光的ネットワークにおける出力光子数分布のサンプリングの複雑さを調査し、熱的状態では出力確率が正定値行列のパーマネントに比例することを示しており、これは多項式階層の第3レベルに属する古典的シミュレーションが可能である。一方、圧縮真空状態では、近似が#P困難な問題に発展し、ガウス状態を用いたボソンサンプリングにおける量子優位性の境界を浮き彫りにしている。

ABSTRACT

Considering the problem of sampling from the output photon-counting probability distribution of a linear-optical network for input Gaussian states, we obtain new results that are of interest from both quantum theory and the complexity theory point of view. We derive a general formula for calculating the output probabilities. By considering input thermal states, we show that the output probabilities are proportional to permanents of positive definite Hermitian matrices. It is believed that approximating permanents of complex matrices in general is a #P-hard problem. However, we show that these permanents can be approximated with an algorithm within the third level of the polynomial hierarchy, as there exists an efficient classical algorithm for sampling from the output probability distribution. On the other hand, considering input squeezed-vacuum states, we show the output probabilities are proportional to a quantity which is, for at least a specific configuration, #P-hard to approximate.

研究の動機と目的

• ガウス型入力状態を用いた線形光的ネットワークにおける出力光子数分布のサンプリングの計算的複雑さを分析すること。
• このような系の出力確率が、効率的に古典的にシミュレート可能かどうか、あるいは困難であるかどうかを特定すること。
• 異なるガウス状態（熱的状態と圧縮真空状態）が、サンプリング問題の難易度に与える役割を明確にすること。
• 量子光学の形式的記述と、特にパーマネントと#P完全性を含む複雑性理論的概念を結びつけること。

提案手法

• ガウス型入力を持つ線形光的ネットワークにおける出力光子数カウント確率を計算する一般式の導出。
• 入力状態が熱的状態の場合の出力確率の分析を行い、正定値エルミート行列のパーマネントに比例することを示す。
• 熱的状態の場合、出力分布のサンプリングを効率的に古典的に実行するアルゴリズムが存在することを示し、多項式階層の第3レベルに属することを示す。
• 圧縮真空状態入力における出力確率の調査を行い、少なくとも1つの特定の設定において#P困難な量と関連していることを明らかにする。
• Wigner関数およびガウス状態の進化を含む量子光学的形式的記述を用いて、確率式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス型入力を持つ線形光的ネットワークの出力確率分布は、古典的に効率的にサンプリング可能か？
• RQ2 熱的状態入力の出力確率は、正定値行列のパーマネントに関連しているか？ もしそうなら、これは古典的に扱いやすいか？
• RQ3 このようなネットワークで圧縮真空状態が用いられると、#P困難なサンプリング問題に発展するか？
• RQ4 特定の圧縮真空状態入力の設定における出力確率の近似の計算的複雑度は何か？
• RQ5 熱的状態と圧縮真空状態の両者について、複雑性理論的難易度の観点からどのように比較できるか？

主な発見

• 熱的状態を入力とした場合、出力確率は正定値エルミート行列のパーマネントに比例し、古典的アルゴリズムを用いて効率的に近似可能である。
• 熱的状態のサンプリングの古典的シミュレーション可能性は、問題が多項式階層の第3レベルに属することを示している。
• 圧縮真空状態を入力とした場合、出力確率は少なくとも1つの特定の設定において#P困難に近似可能な量に比例する。
• 本稿は、線形光的ネットワークにおける量子-古典的複雑性の境界を確立した：熱的状態は古典的にシミュレート可能であり、圧縮状態は潜在的な量子優位性を示している。
• 結果は、ガウス入力状態の選択が、サンプリング問題の計算的複雑度を根本的に変えることを示しており、ボソンサンプリングにおける量子優位性に影響を与える。