[論文レビュー] What does Birkhoff's theorem really tell us?

Kristin Schleich, Donald Witt|ArXiv.org|Oct 27, 2009

Advanced Algebra and Logic参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Birkhoffの定理が一般相対性理論において、局所的同型性の結果であることを明確にし、ℝ×S²とは異なるトポロジーをもつCauchy面における球対称初期データセットを構成することで、それがグローバルな同型性ではないことを示している。これらのデータセットは、局所的にはSchwarzschildまたはSchwarzschild-de Sitterに同型であるが、グローバルには静的領域がなく、漸近平坦性やde Sitterに類似した振る舞いを示さない時空に進化する。これにより、定理の局所的性質と、初期データから時空幾何を特定するための有用性が示された。

ABSTRACT

Birkhoff's theorem is a classic result that characterizes locally spherically symmetric solutions of the Einstein equations. In this paper, we illustrate the consequences of its local nature for the cases of vacuum and positive cosmological constant. We construct several examples of initial data for spherically symmetric spacetimes on Cauchy surfaces of different topology than that of the maximal analytic extension of Schwarzschild and Schwarzschild-de Sitter spacetimes. The spacetimes formed from the evolution of these initial data sets also have very different physical properties; in particular they need not contain a static region or be asymptotically flat or asymptotically de Sitter. We also present locally spherically symmetric initial data sets for de Sitter spacetimes that are not covered by the maximal analytic extension of de Sitter spacetime itself. Finally we illustrate the utility of Birkhoff's theorem in identifying the spacetimes associated with two spherically symmetric initial data sets; one proven to exist but not explicitly exhibited and one which has negative ADM mass.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論において、Birkhoffの定理がグローバルではなく局所的同型性の結果であることを明確にすること。
• ℝ×S²とは異なるトポロジーをもつCauchy面上に、Birkhoffの定理の条件を満たす初期データセットを構成すること。
• このようなデータセットから進化する時空が、静的領域、漸近平坦性、またはde Sitterに類似した振る舞いを示さないことを示すこと。
• Birkhoffの定理が、抽象的または明示的に構成された初期データから、負のADM質量をもつものも含めて、時空幾何を特定できるようにすること。
• SchwarzschildおよびSchwarzschild-de Sitterの最大解析的拡張を超えた、局所的に球対称な時空の理解を拡張すること。

提案手法

• ℝP³およびS¹ ×̃ S²などの標準的でないトポロジーをもつCauchy面上に球対称初期データセットを構成すること。
• 球対称初期データが球対称時空に進化することを示す定理を用い、初期データとグローバル構造を結びつけること。
• ℝP²、ℝP³、S¹ ×̃ S²などの商多様体の等長変換群を計算するために群論的技法を適用し、残存するSO(3)対称性を検証すること。
• 正の宇宙定数を含むBirkhoffの定理の一般化を行い、局所的幾何がSchwarzschild-de SitterまたはNariai時空に一致することを示すこと。
• Birkhoffの定理の局所的性質を用いて、時空が最大解析的拡張と同型でない場合でも、初期データからグローバルな時空幾何を特定できることを示すこと。
• 正規化群と商群構成法（定理2）を用い、S³/ℤ₂およびS¹×S²/ℤ₂などの商空間の等長変換群を計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Birkhoffの定理の局所的性質が、球対称時空のグローバル構造に与える影響は何か？
• RQ2 ℝ×S²とは異なるトポロジーをもつCauchy面上の初期データセットが、依然としてSchwarzschildまたはSchwarzschild-de Sitterに局所的に同型な時空に進化する可能性は何か？
• RQ3 このようなデータセットから進化する時空が、必然的に静的領域、漸近平坦性、またはde Sitterに類似した漸近的振る舞いを示すのか？
• RQ4 Birkhoffの定理が、時空が最大解析的拡張でない場合でも、初期データからグローバルな幾何を特定できるのか？
• RQ5 ℝP³およびS¹ ×̃ S²のような商多様体の等長変換群は何か？また、元の対称性群とはどのように関係するか？

主な発見

• ℝP³上の初期データは、局所的にはSchwarzschildに同型であるが、静的領域がなく、漸近平坦でもない時空に進化する。
• S¹ ×̃ S²上の初期データは、局所的にはSchwarzschildに同型であるが、非自明なグローバルトポロジーを持ち、漸近領域がない。
• 正の宇宙定数をもつ初期データから構成された時空は、局所的にはSchwarzschild-de SitterまたはNariai時空に同型であるが、グローバル構造は最大解析的拡張とは異なる。
• ℝP³−{p}の等長変換群はSO(3)であるため、ℤ₂作用による商をとっても連続的対称性が保存されていることが示された。
• S¹ ×̃ S²の等長変換群にはSO(3)が含まれており、非可縮的同相による識別後も球対称性が残存していることが確認された。
• Birkhoffの定理は、抽象的初期データセットおよび負のADM質量をもつ構成済み初期データセットからも、時空幾何を正しく特定できた。