[論文レビュー] What Does Nature Minimize In Every Incompressible Flow?

Haithem E. Taha, Cody Gonzalez|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2021

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、非圧縮性流れのすべてにおいて圧力勾配のノルムを最小化するという、根本的な変分原理である最小圧力勾配の原理（PMPG）を導入する。ガウスの最小制約の原理に根ざし、流体力学を最小化問題として再定式化することで、ナビエ＝ストークス方程式を解かずに、長年の未解決問題である滑らかな円筒体の揚力パラドックスを含む古典的流体力学問題を解けるようになり、かつ百年にわたる「クッタ条件は粘性効果に起因する」という信念に挑戦する。

ABSTRACT

In this paper, we discover the fundamental quantity that Nature minimizes in almost all flows encountered in everyday life: river, rain, flow in a pipe, blood flow, airflow over an airplane, etc. We show that the norm of the pressure gradient over the field is minimum at every instant of time! We call it the principle of minimum pressure gradient (PMPG). The principle is deeply rooted in classical mechanics via Gauss' principle of least constraint. Therefore, while we prove mathematically that Navier-Stokes' equation represents the necessary condition for minimization of the pressure gradient, the PMPG stands on its own philosophy independent of Navier-Stokes'. It turns any fluid mechanics problem into a minimization one. We demonstrate this intriguing property by solving three of the classical problems in fluid mechanics using the PMPG without resorting to Navier-Stokes' equation. In fact, the inviscid version of the PMPG allowed solving the long-standing problem of the aerohydrodynamic lift over smooth cylindrical shapes where Euler's equation fails to provide a unique answer. Moreover, the result challenges the accepted wisdom about lift generation on an airfoil, which has prevailed over a century. The PMPG is expected to be transformative for theoretical modeling of fluid mechanics as it encodes a complicated nonlinear partial differential equation into a simple minimization problem. The principle even transcends Navier-Stokes' equations in its applicability to non-Newtonian fluids with arbitrary constitutive relations and fluids subject to arbitrary forcing (e.g. electric or magnetic).

研究の動機と目的

• すべての非圧縮性流れにおいて、自然界が最小化する根本的な物理量を特定すること。これは流体力学における長年の欠落を埋めるものである。
• ナビエ＝ストークス方程式に依存しない変分原理を構築し、流体運動の背後にある物理的本質を明らかにすること。
• オイラー方程式が一意な解を導けない古典的不確定問題（例：滑らかな円筒体の揚力生成）を解消すること。
• ニュートン流体に限らない非ニュートン流体や任意の外力に対しても適用可能な統一的枠組みを提供すること。ナビエ＝ストークスに基づくモデルの制限を超える。
• 流体力学の新たな理論的基盤を提供することにより、モデル化を簡素化し、複雑な偏微分方程式の解法に依存するのを減らし、乱流閉じ込めや存在証明の分野に貢献する可能性を秘めている。

提案手法

• ガウスの最小制約の原理からPMPGを導出し、非圧縮性を維持する制約力としての圧力勾配を扱う。
• 流体領域全体における圧力勾配のL2ノルムの最小化を、核心的な変分原理として定式化する。
• PMPGを用いて、ナビエ＝ストークス方程式を用いずに、3つの古典的流体力学問題（円筒体周りの流れ、翼型周りの流れ、ストークス流れ）を解く。
• 粘性のないPMPGを用いて、クッタ条件を最小化の結果として導出し、それは粘性効果ではなく、非粘性の運動量現象であることを示す。
• PMPGとナビエ＝ストークス方程式との間には必要条件としての同等性を示すが、哲学的独立性を保つ。
• 運動的に許容可能な関数を用いて流れ場をパラメータ化し、連続の法則と境界条件を満たすようにした後、圧力勾配ノルムの最小化により、全動的挙動を低次元モデルに射影する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての非圧縮性流れ（粘性流体や乱流を含む）において、自然界が最小化する根本的な物理量は何か？
• RQ2 ナビエ＝ストークス方程式に依存しないが、同じ支配方程式を導く変分原理を導出可能か？
• RQ3 なぜオイラー方程式は滑らかな円筒体の揚力を一意に決定できないのか？この不確定性は、新たな原理によって解消可能か？
• RQ4 クッタ条件は粘性効果に起因するのか、それともPMPGが示唆するように、非粘性の運動量現象なのか？
• RQ5 PMPGは非ニュートン流体や任意の外力（例：電磁力）に対しても、その核心的定式化を変更せずに一般化可能か？

主な発見

• PMPGは、任意の非圧縮性流れにおいて、圧力勾配のL2ノルムが常に瞬時に最小化されることを確立し、流体力学に新たな第一原理的基盤を提供する。
• 粘性のないPMPGは、滑らかな円筒形状における揚力を一意に決定づけ、オイラー方程式が一意な解を導けなかった1世紀にわたる問題を解決する。
• クッタ条件はPMPGから自然に導かれるものであり、圧力勾配の最小化の結果である。これは、それが粘性効果ではなく、非粘性の運動量に基づく現象であることを示唆する。
• PMPGは、理想流体極限（D → 1 のとき Γ* → 0）における円筒体の揚力が消えるという古典的結果を正確に再現する。
• PMPGは、非ニュートン流体や任意の外力（例：電磁力）が作用する流体に対しても、核心的定式化を変更することなく普遍的に適用可能である。
• PMPGは、流体力学を最適化問題として定式化することにより、理論的モデリングの新たな道筋を提供する。これは、ナビエ＝ストークス方程式の存在証明や乱流閉じ込めの解決に貢献する可能性を秘めている。