[論文レビュー] What is algebraic about algebraic effects and handlers?

Andrej Bauer|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、普遍代数と計算的効果を橋渡しすることで、代数的効果とハンドラの厳密な数学的基盤を確立している。代数的理論（シグネチャと恒等的法則によって定義される）が計算的効果をモデル化できることを示しており、ハンドラが代数的理論の自由モデル間の同型写像に対応することを示している。これにより、例外、I/O、コルーチンといった多様なプログラミング構文が、単一の代数的枠組みで統一的に扱えるようになる。

ABSTRACT

This note recapitulates and expands the contents of a tutorial on the mathematical theory of algebraic effects and handlers which I gave at the Dagstuhl seminar 18172 "Algebraic effect handlers go mainstream". It is targeted roughly at the level of a doctoral student with some amount of mathematical training, or at anyone already familiar with algebraic effects and handlers as programming concepts who would like to know what they have to do with algebra. We draw an uninterrupted line of thought between algebra and computational effects. We begin on the mathematical side of things, by reviewing the classic notions of universal algebra: signatures, algebraic theories, and their models. We then generalize and adapt the theory so that it applies to computational effects. In the last step we replace traditional mathematical notation with one that is closer to programming languages.

研究の動機と目的

• 代数的効果とハンドラの数学的根拠を、普遍代数と恒等的理論に接続することで明確化すること。
• 抽象的な代数的構造と、プログラミング言語における実用的応用との間のギャップを埋めること。
• 計算的効果とそのハンドラをモデル化するための形式的基盤として、代数的理論の使用を動機づけること。
• 恒等的法則とコモデルをプログラミング言語の意味論に組み込む影響を検討すること。
• 動的効果生成と、効果とハンドラのための方程式に配慮した言語設計に関する未解決問題を特定すること。

提案手法

• シグネチャ（アリティを伴う演算記号）と恒等的法則を用いて、代数的構造を形式化する。
• 自由モデルを計算型の数学的基盤として導入し、項が計算を表すものとする。
• ハンドラを代数的理論の自由モデル間の同型写像として定義し、操作と恒等的法則を1つの理論から別の理論へ写像する。
• 数学的表記をプログラミング言語の構文に適応し、'項'を'計算'に、'モデル'を'計算型'に置き換える。
• プログラムとその環境との相互作用をモデル化するためのコモデルの概念を導入する。特に、効果を伴う計算において重要である。
• コモデルとモデルのテンソル積を、プログラムと外部システムとの相互作用を形式的にモデル化する数学的メカニズムとして提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的理論をどのようにプログラミング言語における計算的効果をモデル化するために適応できるか？
• RQ2 代数的構造におけるハンドラと同型写像の数学的対応関係は何か？
• RQ3 代数的理論における恒等的法則を、効果のためのプログラミング言語の意味論に意味的に統合する方法は何か？
• RQ4 コモデルは、プログラムとその外部環境との相互作用をモデル化する上で果たす役割は何か？
• RQ5 動的に生成された計算的効果を、プログラミング言語で形式的にモデル化し、サポートすることは可能か？

主な発見

• 代数的効果とハンドラは、普遍代数に基づく数学的基盤を有しており、ハンドラは代数的理論の自由モデル間の同型写像に対応する。
• この理論により、例外、I/O、コルーチンといった多様なプログラミング構文が、単一の代数的枠組みで統一的に扱えるようになる。
• 既存の実装は、決定不能性のため恒等的法則を無視しがちであるが、それらを組み込むことで正しさと抽象化が向上する。
• コモデルとモデルのテンソル積は、プログラムと環境の相互作用を形式的にモデル化するメカニズムを提供するが、実際の利用はまだ限られている。
• ファイルのオープンやスレッドの生成といった、動的効果の生成は、まだ未解決の問題であり、Effのような言語の初期バージョンでも限定的なサポートにとどまっている。
• 現在の言語では方程式に配慮した意味論が欠如しているため、形式的推論や最適化が制限されているが、完全な方程式サポートの理論的利点は依然として大きい。