[論文レビュー] What is Possible Without Disturbing Partially Known Quantum States?

Masato Koashi, Nobuyuki Imoto|ArXiv.org|Jan 31, 2001

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、一意なヒルバート空間の分解に基づき、量子系の自由度を古典的、非古典的、および冗長な部分に分類する統一的原則を提示する。非古典的部分はアクセス不能であり、古典的部分は部分的に既知の量子状態を保存する際、読み取り専用であることが明らかになる。この枠組みにより、一般化された複製不能性、放送不能性、およびインプリント不能性の条件が導出され、量子暗号、データ圧縮、およびトランスポートーションのリソース要件が統一的に扱われる。

ABSTRACT

Consider a situation in which a quantum system is secretly prepared in a state chosen from the known set of states. We present a principle that gives a definite distinction between the operations that preserve the states of the system and those that disturb the states. The principle is derived by alternately applying a fundamental property of classical signals and a fundamental property of quantum ones. The principle can be cast into a simple form by using a decomposition of the relevant Hilbert space, which is uniquely determined by the set of possible states. The decomposition implies the classification of the degrees of freedom of the system into three parts depending on how they store the information on the initially chosen state: one storing it classically, one storing it nonclassically, and the other one storing no information. Then the principle states that the nonclassical part is inaccessible and the classical part is read-only if we are to preserve the state of the system. From this principle, many types of no-cloning, no-broadcasting, and no-imprinting conditions can easily be derived in general forms including mixed states. It also gives a unified view on how various schemes of quantum cryptography work. The principle helps to derive optimum amount of resources (bits, qubits, and ebits) required in data compression or in quantum teleportation of mixed-state ensembles.

研究の動機と目的

• 部分的に既知の量子状態を保存する操作とそれらを破壊する操作との根本的区別を確立すること。
• 量子情報処理タスク（複製、放送、インプリントなど）の可能性を、破壊を伴わない条件で決定する一般枠組みを導出すること。
• 量子暗号、データ圧縮、およびトランスポートーションを、古典的および非古典的情報成分としてのリソース要件に着目することで統一すること。
• 初期状態の集合に基づく、物理的に根拠があり、操作的に意味のあるヒルバート空間の分解を提供すること。

提案手法

• 本手法は2つの基本定理を導出する：1つは部分空間への独立作用の下での古典的信号の不変性を反映し、もう1つは密度行列の非対角成分を保全する作用の下での量子的信号の不変性を反映する。
• 一意なヒルバート空間の分解として $\mathcal{H}_{\rm A} = \bigoplus_{l} \mathcal{H}^{(l)}_{\rm J} \otimes \mathcal{H}^{(l)}_{\rm K}$ を構築し、系の自由度を古典的（$\mathcal{H}^{(l)}_{\rm J}$）、非古典的（$\mathcal{H}^{(l)}_{\rm K}$）、および冗長な部分に分類する。
• 2つの定理を交互に適用することで分解を導出し、$\{\rho_s\}$ を保存する作用は $U_{\rm AE} = \bigoplus_{l} \mathbf{1}^{(l)}_{\rm J} \otimes U^{(l)}_{\rm KE}$ の形に限られることを示す。これは、古典的部分が読み取り専用であり、非古典的部分が無視されることを意味する。
• 本フレームワークは、$\{\rho_s\}$ で生成される代数上のモジュール理論を用いる。非可約性は非古典的符号化に対応し、同値でない部分モジュールへの可約性は古典的符号化に対応し、同値な部分モジュールへの可約性は冗長な符号化に対応する。
• 本手法は、量子暗号、複製、トランスポートーションなどの破壊を伴わないタスクに適用され、古典的部分と非古典的部分に基づき、最小リソース（ビット、キュービット、ebits）を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期状態が部分的に既知である場合、その状態を破壊せずに量子系で行える操作は何か？
• RQ2 系の自由度は、初期状態に関する情報の符号化方法に基づき、どのように分類できるか？
• RQ3 混合状態の複製、放送、またはインプリントが破壊を伴わずに可能となる一般条件は何か？
• RQ4 量子状態の古典的部分と非古典的部分は、量子トランスポートーションおよびデータ圧縮に必要な最小リソースをどのように決定するか？

主な発見

• ヒルバート空間の分解 $\mathcal{H}_{\rm A} = \bigoplus_{l} \mathcal{H}^{(l)}_{\rm J} \otimes \mathcal{H}^{(l)}_{\rm K}$ は、集合 $\{\rho_s\}$ に基づき、系の自由度を古典的、非古典的、および冗長な部分に一意に分類する。
• 状態 $\{\rho_s\}$ を保存する作用は $U_{\rm AE} = \bigoplus_{l} \mathbf{1}^{(l)}_{\rm J} \otimes U^{(l)}_{\rm KE}$ の形に限られ、これは古典的部分が読み取り専用であり、非古典的部分がアクセス不能であることを意味する。
• 非古典的部分は、破壊を伴わずにアクセスまたは複製できない量子情報に対応し、混合状態へのノーコピーサイエンス定理の一般化を示す。
• 古典的部分はビットを用いて符号化・送信可能であり、非古典的部分はキュービットと共有もつれを用いて忠実に送信可能であり、分類の操作的意味が裏付けられる。
• 盲目的な漸近的忠実圧縮の最適レートは、古典的部分のシャノンエントロピーと非古典的部分のフォン・ノイマンエントロピーに等しい。
• 本フレームワークは、量子暗号の既知の結果を統一的かつ一般化し、非古典的部分のアクセス不能性により、盗聴が破壊を伴わずに不可能であることを示す。