[論文レビュー] What is "Relativistic Canonical Quantization"?

D. A. Arbatsky|ArXiv.org|Mar 11, 2005

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、相対論的場を、Poincaré不変なシンプレクティック構造を備えた不変位相空間上でハミルトニアン力学を定式化することによって、厳密に不変な枠組みとしての相対論的 canonical 量化（RCQ）を導入する。この手法は、群論的手法を用いて古典的解から量子化された場を構成し、明示的な相対論的不変性を有する交換関係を導き、不定計量空間を自然に扱える。これにより、Noetherの定理の一般化を実現し、長年の電磁場の量子化における問題を解決する数学的に整合性のある基礎が得られる。

ABSTRACT

The purpose of this review is to give the most popular description of the scheme of quantization of relativistic fields that was named relativistic canonical quantization (RCQ). I do not give here the full exact account of this scheme. But with the help of this review any physicist, even not a specialist in the relativistic quantum theory, will be able to get a general view of the content of RCQ, of its connection with other known approaches, of its novelty and of its fruitfulness.

研究の動機と目的

• 相対論的量子理論の専門家でない読者向けに、相対論的 canonical 量化（RCQ）の明確でわかりやすい概要を提供すること。
• 位相空間、シンプレクティック構造、時間発展を解空間へ一般化することで、ハミルトニアン力学の相対論的不変な定式化を確立すること。
• RCQがPoincaré対称性を自然に組み込み、恣意的な仮定を必要としない数学的に厳密な量子化手順を導く仕組みを示すこと。
• 量子電磁力学における不定計量空間の長年の問題を解決し、それが障害ではなく構成の自然な特徴であることを示すこと。
• 既存の量子化手法を、単一の整合的で不変な形式主義に統合・一般化すること。

提案手法

• 不変位相空間を、古典的場方程式のすべての解の集合として定義し、ハミルトニアン形式主義の配置空間として用いる。
• ラグランジアンから導かれるシンプレクティック構造を不変位相空間に導入し、Poincaré不変性を保証する。
• Poincaré群の不変位相空間への正準的作用を導入し、シンプレクティック構造と解空間の線形構造の両方を保存する。
• 線形相対論的場を、不変位相空間上のPoincaré群のシンプレクティック表現として定式化する。
• 標準的な代数的手法（例えば、普遍包あらゆる代数）を用いて、古典的場の値とシンプレクティック構造を入力として量子場を構成する。
• すべての量子的性質（交換関係や保存量など）が、仮定ではなく幾何学的・群論的構造から構成的に導かれるように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 場理論において、ハミルトニアン形式主義を明示的に相対論的不変にできるか？
• RQ2 解空間（不変位相空間）は、相対論的 canonical 構造を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ3 Poincaré群は、古典的場の解の空間上でどのように作用し、シンプレクティック構造を保存するか？
• RQ4 特に電磁ポテンシャルのような場に対して、正定値内積を仮定せずに量子化が可能か？
• RQ5 RCQは、量子場理論におけるNoetherの定理の厳密な構成的類似をどのように提供するか？

主な発見

• RCQは、古典的場の解の空間上でハミルトニアン力学を定式化することにより、完全に相対論的不変な量子化スキームを提供する。
• 不変位相空間は、ラグランジアンから導かれるシンプレクティック構造を自然に持ち、Poincaré変換のもとで保存される。
• Poincaré群は、不変位相空間上でシンプレクティック変換の群として正準的に作用し、量子化の群論的アプローチを可能にする。
• 量子交換関係や保存量は、仮定ではなく幾何学的構造から構成的に導かれるため、Noetherの定理を厳密に一般化する。
• この手法は不定計量空間を自然に扱えるため、ヒルベルト空間構造を要しないまま、電磁場の量子化における長年の問題を解決する。
• 線形場の場合、正定値計量を仮定すれば、標準的量子化と同等の結果が得られるが、RCQは古典的類似や恣意的仮定に依存しないより根本的で体系的な枠組みを提供する。