[論文レビュー] What is the real meaning of the Froissart theorem ?

Ya. I. Azimov|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2012

Relativity and Gravitational Theory参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Froissart定理を再検討し、全微分断面積における標準的な対数二乗の上限がユニタリティのみから生じるのではなく、非物理的振幅が有界であるという追加の仮定に依存することを示している。分散関係の仮定を緩め、ユニタリティと質量ゼロの粒子の不在に焦点を当てることで、より強く、より一般的な上限が得られ、物理的振幅は非物理的振幅よりもはるかにゆっくりと増加することが明らかになった。主な発見は、現在のLHCのデータが全微分断面積が飽和していないことを示唆しており、これは log²s よりも速い増加を意味するが、非物理的振幅が十分に速く増加する限りユニタリティに違反しないことである。

ABSTRACT

The Froissart bounds for amplitudes and cross sections are explained and reconsidered to clarify the role of different assumptions. It is the physical conditions of unitarity and of no massless exchanges, together with mathematical properties of the Legendre functions, that imply much softer high-energy asymptotics for elastic amplitudes at physical angles than for the same amplitudes at nonphysical angles. The canonical log-squared boundary for σ_{tot} appears only under the additional hypothesis that the amplitude at any nonphysical angle cannot grow faster than some power of energy. The Froissart results are further shown to admit some reinforcement. Comparison of the familiar and new Froissart-like restrictions with the existing data on σ_{tot} and diffraction slope at all available energies (including LHC) does not allow yet to unambiguously determine the asymptotic behavior of σ_{tot}, but shows that its current increase cannot be saturated (i.e., maximally rapid).

研究の動機と目的

• 標準的なユニタリティに基づく導出を越えて、Froissart定理の真の物理的および数学的基盤を明確化すること。
• 全微分断面積の標準的な対数二乗の漸近的上限が、必要不可欠なものであるのか、それとも追加の仮定に依存するのかを調査すること。
• 特にLHCからの実験的データが、Froissart上限の飽和を支持するか、あるいは反証するかを評価すること。
• 分散関係を仮定しないで、ユニタリティと質量ゼロの粒子の不在のみを用いて、弾性振幅のより一般的な上限を導出すること。
• 全微分断面積が飽和していない場合が、高エネルギーにおける微細構造の傾きとハドロンの黒性に与える影響を検討すること。

提案手法

• ユニタリティとルジャンドル関数の性質を用いて部分波振幅の上限を導出し、高エネルギーにおける振る舞いを決定する臨界角運動量 L を得る。
• 第二種ルジャンドル関数 Q_l(z) を用いた複素 z 平面上のコーシー積分を適用し、振幅を非物理的輪郭上の値と関係付ける。
• 不等式 |sin(α + iφ') Q_l(z')| < e^{-α(l+1/2)} √(π/2 cosh α) を用いて、楕円輪郭上の非物理的振幅を用いて振幅を上限で抑え込む。
• 非物理的振幅が輪郭上で関数 B₀(s) として定義され、|a_l| < B₀(s) exp(-l α₀) が得られ、ここで α₀ は t チャネル特異点に関連する。
• 分散関係を仮定しないで、固定 t および固定角度の振幅に対して、Froissartに類似した新しい上限を導出。特に、物理的 t < 0 に対して |A(s,t)| < L^{3/2} (s/|t|)^{1/4} を得る。
• 上限における s₀ のエネルギー依存性を分析し、s₀ がエネルギーとともに増加（例えば log s のべき乗として）する必要があることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Froissart上限の真の物理的起源は何か？ そしてユニタリティを超えた仮定に依存しているのか？
• RQ2 全微分断面積の標準的な log²s の漸近的挙動はなぜ現れるのか？ これは必要不可欠なものなのか、それとも追加の仮定に依存するのか？
• RQ3 ユニタリティと質量ゼロの粒子の不在のみを仮定すれば、Froissart上限をより強い形に強化できるか？
• RQ4 σ_tot と微細構造の傾き b の観測されたエネルギー依存性は、Froissart上限の飽和について何を示唆するか？
• RQ5 高エネルギー領域における σ_tot / b の比はどのように変化するか？ これによりハドロンの黒性に関する何が明らかになるか？

主な発見

• Froissart上限の log²s 漸近的挙動は、ユニタリティそのものだけの直接的結果ではなく、非物理的振幅がエネルギーのべき乗より速く増加しないという追加の仮定に依存している。
• s₀ をエネルギーとともに増加させることを許容すると、標準的な log²s の上限は弱まり、全微分断面積は log²s よりも遅く増加しなければならない。これはより制限の厳しい上界を意味する。
• 分散関係を仮定しないで導出された新しいFroissartに類似した上限は、物理的角度における物理的振幅が非物理的角度の振幅よりもはるかにゆっくりと増加することを示しており、これはルジャンドル関数の数学的性質に起因する。
• LHCエネルギーにおける σ_tot / b の観測された増加は、全微分断面積が飽和していないことを示唆しており、これは標準的な log²s 挙動よりも速い増加を意味する。
• σ_tot が log²s より速く増加する場合、微細構造ピークは小さくなり、ハドロン的スクリーンの平均黒性（σ_tot / b）は一定または減少する必要がある。これは、完全な黒性を想定する直感とは矛盾する。
• 解析により、b が増加する中で σ_tot が一定のままでは、解析性および t チャネルユニタリティに反する。これはハドロン半径が増加する必要があることを示唆しており、高エネルギーで透過性が生じることを意味する。