[論文レビュー] What is wrong with von Neumann's theorem on "no hidden variables"

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|Aug 31, 2004

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、量子力学における隠れ変数の不可能性を主張するフォン・ノイマンの1932年の定理に挑戦し、定理の核心的仮定である、非可換な観測可能すら含めたすべての観測可能に対して期待値が実線形であるという仮定が物理的に妥当でないとしている。著者は、この仮定が非可換な観測可能に適用された際に数学的矛盾を引き起こすことを示し、ドブリアン力学がその反例を提供することにより、定理の結論が隠れ変数の一般的禁止を正当化しないことを示している。

ABSTRACT

It is shown that, although correct mathematically, the celebrated 1932 theorem of von Neumann which is often interpreted as proving the impossibility of the existence of "hidden variables" in Quantum Mechanics, is in fact based on an assumption which is physically not reasonable. Apart from that, the alleged conclusion of von Neumann proving the impossibility of the existence of "hidden variables" was already set aside in 1952 by the counterexample of the possibility of a physical theory, such as given by what is usually called the "Bohmian Mechanics". Similar arguments apply to other two well known mathematical theorems, namely, of Gleason, and of Kochen and Specker, which have often been seen as equally proving the impossibility of the existence of "hidden variables" in Quantum Mechanics.

研究の動機と目的

• フォン・ノイマンの仮定、すなわちすべての観測可能、非可換なものも含めて期待値が実線形でなければならないという仮定の物理的妥当性を検証すること。
• フォン・ノイマンの定理が、その核心的仮定が物理的根拠を持たないため、隠れ変数理論を排除しないことの証明。
• ドブリアン力学が定理の結論に対する有効な反例を提供することの証明により、隠れ変数が存在可能であることを示すこと。
• グレーゲンやコーゲン＝スプライアーの類似の「否定の定理」に対しても、同様の批判を拡張すること。
• フォン・ノイマンの定理の数学的正しさが、非可換な観測可能に適用された場合に物理的必然性を意味しないことの明確化。

提案手法

• フォン・ノイマンの定理を、正規化（E(ψ,1)=1）、実線形性（E(ψ,αA+βB)=αE(ψ,A)+βE(ψ,B)）、正値性（射影に対してE(ψ,P)≥0）の3つの核心的仮定に分解して分析する。
• 複素線形性を用いて、エルミート演算子からすべての有界演算子へ期待値関数 E を拡張する。A = A₊ + iA₋ の分解を用いる。
• すべてのランク1射影に対する期待値値から密度演算子 U_ψ を構成し、すべての A に対して E(ψ,A) = Tr(U_ψ A) が成り立つことを示す。
• 正値性および正規化条件を適用して、U_ψ が有効な密度演算子（正定値、トレース1）であることを証明する。
• 非可換な観測可能（例：σ_x, σ_y, および σ_b = (σ_x + σ_y)/√2）に線形性仮定を適用した際に生じる矛盾を特定する。
• 固有値の割り当てにおける矛盾（例：±1/2 = (±1/2 ± 1/2)/√2）を用いて、非可換な観測可能に線形性を適用すると不合理な結果が生じることを示し、仮定の無効性を立証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォン・ノイマンの仮定、すなわちすべての観測可能、非可換なものも含めて期待値が実線形でなければならないという仮定は、物理的に正当化可能か？
• RQ2 フォン・ノイマンの定理は、量子力学における隠れ変数の存在を真に排除しているのか？
• RQ3 ドブリアン力学のような反例を構築することで、フォン・ノイマンの定理の反証が可能か？ これにより隠れ変数の存在が示されるか？
• RQ4 グレーゲンやコーゲン＝スプライアーの定理のような他の「否定の定理」は、同様の基礎的仮定の欠陥を抱えているか？
• RQ5 非可換な観測可能に線形性を適用した場合の物理的結果は何か？ なぜこれが測定結果の矛盾を引き起こすのか？

主な発見

• フォン・ノイマンの定理は数学的に正しいが、物理的に不適切な仮定に依存している：可換性に関係なく、すべての観測可能に対して期待値が実線形でなければならないという仮定。
• この仮定が非可換な観測可能（例：σ_x と σ_y）に適用されると、±1/2 = (±1/2 ± 1/2)/√2 といった不可能な固有値関係を示唆し、矛盾を引き起こす。
• すべての射影演算子 P_χ に対して E(ψ,P_χ) が定数（0 または 1）でなければならないという要請は、U_ψ がゼロまたはトレース M でなければならないことを意味し、正規化条件 Tr(U_ψ)=1 に反するため矛盾を生じる。
• ドブリアン力学は、量子予測に反しないまま、フォン・ノイマンの結論に対する明確な反例を提供しており、隠れ変数が存在可能であることを示している。
• 同様の批判は、グレーゲンやコーゲン＝スプライアーの定理に対しても適用可能であり、これらも物理的に不要または不適切な仮定に依存している。
• 本論文は、これらの定理によって隠れ変数の不在が証明されないことを結論づけ、その基礎的仮定が物理的に正当化されていないことから、それらの仮定が物理的必然性を持たないことを示している。