[論文レビュー] What's Decidable about Syntax-Guided Synthesis?

Benjamin Caulfield, Markus N. Rabe+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2015

Logic, programming, and type systems参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、さまざまな論理的理論と文法クラスにおける構文誘導型合成（SyGuS）の決定可能性を調査する。EUF（等価性と未解釈関数）および連結を伴うビットベクトル理論ではSyGuSが決定不能であることを証明するが、正則EUF（regular-EUF）と正則木文法では決定可能であり、これはEXPTIME完全であり、解集合が正則木言語に対応する。

ABSTRACT

Syntax-guided synthesis (SyGuS) is a recently proposed framework for program synthesis problems. The SyGuS problem is to find an expression or program generated by a given grammar that meets a correctness specification. Correctness specifications are given as formulas in suitable logical theories, typically amongst those studied in satisfiability modulo theories (SMT). In this work, we analyze the decidability of the SyGuS problem for different classes of grammars and correctness specifications. We prove that the SyGuS problem is undecidable for the theory of equality with uninterpreted functions (EUF).We identify a fragment of EUF, which we call regular-EUF, for which the SyGuS problem is decidable. We prove that this restricted problem is EXPTIME-complete and that the sets of solution expressions are precisely the regular tree languages. For theories that admit a unique, finite domain, we give a general algorithm to solve the SyGuS problem on tree grammars. Finite-domain theories include the bit-vector theory without concatenation. We prove SyGuS undecidable for a very simple bit-vector theory with concatenation, both for context-free grammars and for tree grammars. Finally, we give some additional results for linear arithmetic and bit-vector arithmetic along with a discussion of the implication of these results.

研究の動機と目的

• 異なる論理的理論と文法クラスの組み合わせにおける構文誘導型合成（SyGuS）問題の決定可能性を分析すること。
• 特に、一般的に使用される理論の制限付き断片に注目し、SyGuSが決定可能となる条件を同定すること。
• 構文的制約が合成を容易にするという一般的な直観に照らして、SyGuSの理論的境界を明確にすること。
• 理論と文法タイプに基づくSyGuS問題の包括的分類を提供すること。決定可能な場合の複雑さの特徴付けを含む。

提案手法

• 与えられたSMT理論における論理的仕様を満たす文法からの式を見つける問題としてSyGuSを形式化すること。
• 形式言語理論における決定不能問題への還元を用いて、EUFおよび連結付きビットベクトル理論における決定不能性を証明すること。
• 文法が正則木文法に制限された正則EUF断片を導入し、決定可能性と複雑さの分析を可能にする。
• 自動機理論的手法を用いて、正則EUFにおける解集合が正確に正則木言語に一致することを確立すること。
• 有限ドメイン理論におけるSyGuSの一般アルゴリズムを設計し、有限モデルの列挙とSMTチェックを用いること。
• 文法の表現力（文脈自由、木、制限付き文法）が決定可能性および複雑さに与える影響を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 木文法を用いた場合、等価性と未解釈関数（EUF）の理論におけるSyGuS問題は決定可能か？
• RQ2 EUFの決定可能な断片を同定できるか。その際、妥当な文法制限のもとでSyGuSが依然として決定可能となるか？
• RQ3 有限ドメイン理論において、木文法を用いたSyGuSの複雑さはいかほどか？
• RQ4 連結付きビットベクトル理論におけるSyGuSは決定可能か。また、文法の表現力はこれにどのように影響するか？
• RQ5 線形算術（LRA、LIA）に特化した文法は、SyGuS問題の決定可能性にどのように影響するか？

主な発見

• 木文法を用いた場合、等価性と未解釈関数（EUF）の理論におけるSyGuS問題は決定不能である。
• 正則EUFと呼ばれる決定可能な断片が同定され、正則木文法を用いた場合、SyGuSはEXPTIME完全である。
• 任意の正則EUF SyGuS問題の解集合は、正確に正則木言語に一致する。
• 有限ドメイン理論において、木文法を用いたSyGuSは決定可能であるが、任意の文脈自由文法では決定不能である。
• 連結付きビットベクトル理論におけるSyGuSは、文脈自由または木文法に制限されても決定不能である。
• 連結なしのビットベクトル算術では、すべての適正な式を生成する非制限文法を用いた場合、問題は依然として決定可能である。