[論文レビュー] What scalars should we use ?

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|May 16, 2005

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 34被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、物理学におけるスカラーとして従来の実数および複素数の使用を、無限大とゼロ除数を厳密に取り扱える非アルキメデス的代数に置き換えることを主張している。特に、複素数を拡張する可換かつ結合的な代数（たとえば、列の商代数）を構築することで、量子場理論や経路積分における無限大の体系的取り扱いが可能となり、正規化の必要性を回避し、理論物理学における長年の問題を解決する。

ABSTRACT

There are compelling historical and mathematical reasons why we ended up, among others in Physics, with using the scalars given by the real or the complex numbers. Recently, however, infinitely many easy to construct and use other algebras of scalars have quite naturally emerged in a number of branches of Applied Mathematics. These algebras of scalars can deal with the long disturbing difficulties encountered in Physics, related to such phenomena as "infinities in Physics", "re-normalization", the "Feynman path integral", and so on. Specifically, as soon as one is dealing with scalars in algebras which - unlike the reals R and complex numbers C - are no longer Archimedean, one can deal with a large variety of "infinite" quantities and do so within the usual rules and with the usual operations of algebra. Here we present typical constructions of these recently emerged algebras of scalars, most of them non-Archimedean.

研究の動機と目的

• 物理学におけるスカラーとして実数または複素数しか使えないという長年の未検証の仮定に挑戦すること。
• 量子場理論における継続的な数学的困難、たとえば無限大、経路積分、正規化といった問題を、代替スカラー代数の導入によって解決すること。
• ゼロ除数を有する非アルキメデス的代数が、物理理論において一貫性と厳密性をもって機能する枠組みを提供できることを示すこと。
• これらの新しいスカラー代数を用いて、ヒルベルト空間や経路積分を再定義する基盤を築き、発散のより自然な取り扱いを可能にすること。

提案手法

• 列の商空間としてスカラー代数を構築する。たとえば、$\mathbb{R}^\mathbb{N}/\mathcal{I}$ であり、$\mathcal{I}$ は無視できる列のイデアルである。
• バナッハ極限と、その有界列へのみの拡張不能性を用いて、標準的な一般化極限の限界を示す。
• 非アルキメデス的代数（特に、非標準的実数 $^*\mathbb{R}$）を、無限大および無限小スカラーを許容する $\mathbb{R}$ の自然な拡張として導入する。
• バナッハ極限が有界列を超えて拡張できないことの失敗が、非アルキメデス的構造への移行を必然的にするということを示す。
• 代数的枠組みを物理的問題に適用し、ゼロ除数と非アルキメデス的順序が代数的整合性と併存できることを示す。
• このような代数が、量子力学や場の理論における標準的な実数・複素数スカラーに置き換え可能であり、フェ Feynman 経路積分の厳密な計算を可能にすると提唱する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ物理学におけるスカラーとして実数および複素数の使用が、未検証の公理として定着してきたのか。その仮定の結果として生じる影響は何か。
• RQ2 非アルキメデス的代数としてのスカラーを構築することは可能か。その場合、量子場理論における無限大の厳密な取り扱いが可能になるか。
• RQ3 バナッハ極限のような一般化極限を、有界列を超えて無限大列に拡張することは可能か。その結果、スカラー代数にどのような意味が生じるか。
• RQ4 ゼロ除数と非アルキメデス的順序は、物理理論におけるスカラー代数の整合性と有用性にどのような影響を与えるか。
• RQ5 フェ Feynman 経路積分とヒルベルト空間形式主義は、これらの新しいスカラー代数を用いて再定義可能か。その結果、正規化の必要性が排除されるか。

主な発見

• バナッハ一般化極限は、有界列を超えて拡張できない。これは、無限大列 $\nu(n) = n$ を用いた背理法によって示され、拡張可能と仮定すると $0 = 1$ に到達する。
• 非アルキメデス的代数、たとえば $^*\mathbb{R}$ は、自然に無限大および無限小スカラーを含んでおり、物理学における無限大の厳密な取り扱いを可能にする。
• これらの代数にゼロ除数が存在することは欠陥ではなく、特徴である。$\mathbb{R}$ や $\mathbb{C}$ を係数とする行列や代数は、すでにこの性質を有している。
• 標準的関数解析が無限大を厳密に取り扱えないことの失敗は、量子場理論の数学的基盤を一貫して維持するためには代替スカラー代数が必要であることを示唆する。
• これらの新しい代数は、正規化や恣意的手続きに依存せず、発散を体系的かつ代数的に取り扱うことを可能にする。
• 本稿は、ヒルベルト空間やフェ Feynman 経路積分をこれらの代数で再定義する基盤を築き、量子力学の基礎的問題に対する解決策を提示する。