[論文レビュー] When are Duality Defects Group-Theoretical?

Zhengdi Sun, Yunqin Zheng|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2023

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、2次元における有限アーベル対称性 $\mathbb{Z}_N^{(0)}$ と4次元における $\mathbb{Z}_N^{(1)}$ のゲージ化に関連する双対性デフェクトが、群論的である、すなわち可逆対称性からの異常流入によって構成可能である条件を特定する。その結果、このようなデフェクトが群論的であるのは、その対称性トポロジカル場理論（SymTFT）がDijkgraaf-Witten理論である場合に限ることが示され、これは2次元では $N$ が完全平方のときに、4次元では $N = L^2M$ かつ $-1$ が $M$ を法として平方剰余であるときに成立する。明示的なトポロジカルな操作により、非可逆的デフェクトが可逆的デフェクトに写像される。

ABSTRACT

A quantum field theory with a finite abelian symmetry $G$ may be equipped with a non-invertible duality defect associated with gauging $G$. For certain $G$, duality defects admit an alternative construction where one starts with invertible symmetries with certain 't Hooft anomaly, and gauging a non-anomalous subgroup. This special type of duality defects are termed group theoretical. In this work, we determine when duality defects are group theoretical, among $G=\mathbb{Z}_N^{(0)}$ and $\mathbb{Z}_N^{(1)}$ in $2$d and 4d quantum field theories, respectively. A duality defect is group theoretical if and only if its Symmetry TFT is a Dijkgraaf-Witten theory, and we argue that this is equivalent to a certain stability condition of the topological boundary conditions of the $G$ gauge theory. By solving the stability condition, we find that a $\mathbb{Z}_N^{(0)}$ duality defect in 2d is group theoretical if and only if $N$ is a perfect square, and under certain assumptions a $\mathbb{Z}_N^{(1)}$ duality defect in 4d is group theoretical if and only if $N=L^2 M$ where $-1$ is a quadratic residue of $M$. For these subset of $N$, we construct explicit topological manipulations that map the non-invertible duality defects to invertible defects. We also comment on the connection between our results and the recent discussion of obstruction to duality-preserving gapped phases.

研究の動機と目的

• ゲージ化に関連する有限アーベル対称性と関連する双対性デフェクトが群論的である条件を特定すること。
• 双対性デフェクトの対称性トポロジカル場理論（SymTFT）がDijkgraaf-Witten理論と等価である条件を同定すること。
• 群論的双対性デフェクトと $G$-ゲージ理論におけるトポロジカル境界条件の安定性との関係を確立すること。
• 特定の $N$ に対して、非可逆的双対性デフェクトを可逆的ものに写像する明示的なトポロジカル操作を構成すること。
• 双対性を保存するギャップを持つ相を形成する際の障害と、双対性デフェクトの群論的性質との関連を明らかにすること。

提案手法

• 双対性デフェクトのSymTFTを分析し、それがDijkgraaf-Witten理論と一致する条件を同定することで、群論的双対性デフェクトを特徴付ける。
• 群論的双対性デフェクトであるための必要十分条件として、そのSymTFTがDijkgraaf-Witten理論であることを利用し、$G$-ゲージ理論のトポロジカル境界条件の構造から導出される。
• 2次元の場合の3次元 $\mathbb{Z}_N$ ゲージ理論および4次元の場合の5次元 $\mathbb{Z}_N$ 2形式ゲージ理論におけるラグランジュ部分群の安定性条件を解き、許容される $N$ を特定する。
• 奇数の $N$ に対しては条件 $k^2 \equiv -1 \pmod{N}$ を、偶数の $N$ に対しては $k^2 \equiv -1 \pmod{2N}$ を適用し、$\mathbb{Z}_4^{\text{em}}$ 対称性がラグランジュ部分群を保存する条件を特定する。
• 位相的補正 $J$ に依存する $N$、$p$、$q$ に依存する位相的因子を有する表面演算子 $\widetilde{S}_{(p,q)}(\sigma)$ を用いて、非可逆的デフェクトを可逆的デフェクトに写像する明示的なトポロジカル操作を構成する。
• 偶数の $N$ の場合、位相的補正を扱うために拡張された電荷空間 $\mathbb{Z}_{2N}$ を用い、スピン多様体では $\mathbb{Z}_N$ に還元され、$k^2 \equiv -1 \pmod{N}$ の条件が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元量子場理論における $\mathbb{Z}_N^{(0)}$ 双対性デフェクトが群論的である条件は何か？
• RQ2 4次元量子場理論における $\mathbb{Z}_N^{(1)}$ 双対性デフェクトが群論的である条件は何か？
• RQ3 双対性デフェクトのSymTFTがDijkgraaf-Witten理論であることを保証する $N$ に対する明確な数学的条件は何か？
• RQ4 群論的状況下で、トポロジカルな操作が非可逆的双対性デフェクトを可逆的ものに写像する方法は何か？
• RQ5 群論的双対性デフェクトと、双対性を保存するギャップを持つ相を形成する際の障害との関連は何か？

主な発見

• 2次元における $\mathbb{Z}_N^{(0)}$ 双対性デフェクトは、$N$ が完全平方である場合に限り群論的である。
• 4次元における $\mathbb{Z}_N^{(1)}$ 双対性デフェクトは、ある仮定の下で、$N = L^2M$ かつ $-1$ が $M$ を法として平方剰余である場合に限り群論的である。
• 双対性デフェクトの群論的性質は、そのSymTFTがDijkgraaf-Witten理論であることと同値であり、さらにそれはラグランジュ部分群が $\mathbb{Z}_4^{\text{em}}$ 対称性によって安定であることに等しい。
• 奇数の $N$ に対しては、$k^2 \equiv -1 \pmod{N}$ が $\mathbb{Z}_4^{\text{em}}$ 対称性がラグランジュ部分群を保存するための必要十分条件であり、これは $L=1$ の特別な場合に相当する。
• 偶数の $N$ に対しては、$k^2 \equiv -1 \pmod{2N}$ には解がないが、スピン多様体上では条件が $k^2 \equiv -1 \pmod{N}$ に簡略化され、$-1$ が $N$ を法として平方剰余である場合に解が存在する。
• 群論的条件を満たす $N$ に対して、位相的補正 $J$ に依存する $N$、$p$、$q$ に依存する位相的因子を有する表面演算子を用いて、非可逆的デフェクトを可逆的デフェクトに写像する明示的なトポロジカル操作が構成された。