[論文レビュー] When are two algorithms the same?

Andreas Blass, Nachum Dershowitz+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2008

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、決定的で小ステップ的かつ非インタラクティブなアルゴリズムに限定した文脈ですら、2つのアルゴリズムが同じであることを形式的に定義するのに満足できる同値関係が存在しないと主張している。直感的なアルゴリズムの同一性が形式的定義に抵抗する事例を分析することで、『同じアルゴリズム』という概念は本質的に主観的であり、プログラムに対するいかなる厳密な同値関係でも捉えることはできないと結論づけている。

ABSTRACT

People usually regard algorithms as more abstract than the programs that implement them. The natural way to formalize this idea is that algorithms are equivalence classes of programs with respect to a suitable equivalence relation. We argue that no such equivalence relation exists.

研究の動機と目的

• 2つのプログラムが同じアルゴリズムを実装しているという直感的 notions を正確に捉えるために、そのような同値関係を定義できるかを調査すること。
• カリー＝ハワード対応や証明の同値性といった既存のアプローチの限界を検討し、アルゴリズム同一性を定義する上でそれらがなぜ失敗するかを明らかにすること。
• 決定的で小ステップ的かつ非インタラクティブなアルゴリズムに限定されたクラスですら、アルゴリズム同一性の直感的 notions が形式化に耐えないと示すこと。
• プログラムの構文と意味論が明確に定義されていても、アルゴリズム同一性に関する主観的判断が依然として残ることを示すこと。
• アルゴリズム同一性の問題は、技術的な難易度以上の根本的な問題を含んでおり、人間のアルゴリズム同一性に関する直感に内在する曖昧さゆえに、本質的に不適切に設定された問題であると主張すること。

提案手法

• 2つのプログラムが同じ関数を計算しているにもかかわらず、直感的には異なるアルゴリズムであると感じられる事例（例：挿入ソート vs. 選択ソート）を分析すること。
• プログラミング言語と意味論がプログラムをどのように定義するかの役割を検討し、変動する基準を避けるために安定的で明確に定義された言語の導入を提唱すること。
• カリー＝ハワード対応を用いて証明の同値性をアルゴリズム同値性への道筋として探るが、あまりに細かすぎるため却下すること。
• プログラムに対する微小で段階的な変更が、アルゴリズム同一性と差異の境界を曇らせる方法を調査し、曖昧な領域を生じさせること。
• 証明、定理、翻訳といった他の分野との類似性を用いて、同一性の問題が広範にわたって同様に解けないことを示すこと。
• 逆数学を定理の粗い同値関係として適用し、直感的な同値性の概念と対比することで、形式化のギャップを浮き彫りにすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのプログラムが同じアルゴリズムを実装している場合に限り、その同値関係がプログラム上に正確に定義可能かどうか。
• RQ2 標準的手法（例：カリー＝ハワード対応や証明の同値性）が、なぜ直感的なアルゴリズム同一性を捉えられていないのか。
• RQ3 『同じアルゴリズム』という直感的 notions がどれほど主観的であるか、そしてその主観性を形式化できるか。
• RQ4 プログラムの構文的・構造的変更がアルゴリズム同一性の認識にどのように影響し、その境界はどこにあるのか。
• RQ5 証明、定理、翻訳といった他の分野にも、アルゴリズムの同一性を定義する困難さに類似した問題が存在するか。

主な発見

• 決定的で小ステップ的かつ非インタラクティブなアルゴリズムに限定されたクラスですら、2つのアルゴリズムが同じであるという直感的 notions を完全に捉える同値関係は存在しない。
• 2つのプログラムが同じ関数を計算しており、構文的にも類似しているにもかかわらず、それらが同じアルゴリズムを実装しているかどうかについて、人々が合理的に意見を分けることがある。これは、本質的な主観性を示している。
• カリー＝ハワード対応や証明の同値性アプローチによって得られる同値関係は、あまりに細かすぎるため、直感的に同値と感じるアルゴリズムを正しく同定できない。
• プログラムに対して微小な変更を段階的に加えることで、各ステップは自明に思えるにもかかわらず、初期状態と最終状態のプログラムは異なるアルゴリズムであると認識されるようになる。これは境界が明確でないことを示している。
• アルゴリズム同一性の問題は技術的な難問を超えて、概念的な問題である。直感的な notions はあまりに曖昧で文脈依存的であり、正確な同値関係として形式化できない。
• 証明、定理、翻訳といった他の分野でも同様の問題が見られ、同じように解けない。これは、より深い基礎的問題を示唆している。