[論文レビュー] When Do Spacetimes Have Constant Mean Curvature Slices?

James Dilts, Michael Holst|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論における初期データ問題と進化問題を単純化する重要な仮定である、定常平均曲率（CMC）スライスの存在を検討する。著者らは、CMCスライスをもたない既知の時空例を分析し、それらが非一般的である可能性を主張し、CMCスライスは一般には特徴的ではないのだと仮説を立て、数学的相対性理論におけるCMCに基づく結果の広範な適用可能性に影響を及ぼす。

ABSTRACT

Many results in mathematical relativity, including results for both the initial data problem and for the evolution problem, rely on the existence of a constant mean curvature (CMC) Cauchy surface in the underlying spacetime. However, it is known that some spacetimes have no CMC Cauchy surfaces (slices). This is an obstacle for many results and constructions with these types of spacetimes, and is particularly worrisome since it is not known whether spacetimes that do have CMC slices are in any sense generic. In this expository paper, we will discuss the known results about the existence (and non-existence) of CMC slices, examine the evidence for cases which are unknown, and make several conjectures concerning the existence of CMC slices and their generality.

研究の動機と目的

• 定常平均曲率（CMC）スライスをもつ時空が、数学的相対性理論において一般に成立するかを特定すること。
• CMCスライスをもたない既知の時空例を分析し、それらの構造的および力学的性質を評価すること。
• CMCスライスの欠如が、初期データ空間において開条件か閉条件かを調査すること。
• CMCスライスをもたない時空が、近似的に定常平均曲率（near-CMC）スライスをもつかどうかを調査し、これはコンフォーマル法の有用性を維持する可能性がある。
• 一般相対性理論の制約問題と進化問題の多くの重要な結果を支える基盤的仮定である、CMCスライスが一般に存在するとする仮定を疑問視すること。

提案手法

• Chruściel、Isenberg、Pollackの真空例を含む、CMCスライスをもたない既知の時空例をレビューすること。
• CMCスライスをもたない時空の幾何学的および力学的挙動を分析し、特にその漸近的構造と曲率性質に注目すること。
• 極限的議論の使用：CMCスライスをもつ時空の列を、境界となる時空に収束させることで、極限の性質を推論すること。
• 初期データの小さな摂動におけるCMCおよび非CMC行動の安定性を検討すること。
• 非CMC例に近いデータにコンフォーマル法を適用し、解の存在をテストし、CMCデータに変形可能かどうかを検証すること。
• 特に非CMC条件の開性およびCMCスライスをもたない時空における拡張領域の安定性に関して、ヒューリスティックおよび幾何的推論に基づく仮説を提唱すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常平均曲率（CMC）スライスをもつ時空は、すべてのグローバルに双曲的時空の空間において一般に成立するか？
• RQ2 CMCスライスをもたない時空が、平均曲率の勾配が小さい近似的に定常平均曲率（near-CMC）スライスをもつか？
• RQ3 CMCスライスの欠如が、初期データ空間において開条件であるか、すなわち、そのような時空が初期データ空間の連結成分を形成するか？
• RQ4 非CMC時空の初期データをパラメータ化するため、near-CMC挙動を活用することで、コンフォーマル法を拡張可能か？
• RQ5 CMCスライスをもたない時空の長期的安定性は、特に拡張領域または光線の存在に関連してどうなるか？

主な発見

• CMCスライスをもたない時空は存在する。Bartnikの例と、後にChruściel、Isenberg、Pollackによる例によって示された。
• CMCスライスの存在が一般的性質であるとはまだ証明されていない。実際、著者らはそれが一般的ではないと仮説を立てている。
• CMCスライスをもたない時空が、任意に近い定常平均曲率スライスをもつ可能性がある。これは、コンフォーマル法がそのような状況でも有用である可能性を示唆する。
• CMCスライスの欠如が開条件である可能性があり、その結果、CMCスライスをもたない時空は初期データ空間において連結成分を形成する可能性がある。
• CMCスライスをもたない時空は、一部の領域で拡張していると予想され、そのような拡張領域は小さな摂動に対して安定であると予想される。これは、非CMC時空が孤立した例外ではないという考えを支持する。
• 遠く離れたCMC領域におけるコンフォーマル法の失敗は、CMCデータがすべての初期データをパラメータ化するのに十分でないことを示唆するが、near-CMCデータは依然として取り扱い可能である可能性がある。