[論文レビュー] When Does Adaptivity Help for Quantum State Learning?

Sitan Chen, Brice Huang+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、非干渉的測定を用いた量子状態トモグラフィーにおいて、適応的測定が役立つかどうかという根本的な問いに答えている。トレース距離推定に関しては、適応的測定に利点がないことが証明され、Ω(d³/ε²)枚のコピーが必要であり、既知の上界と一致する。一方、不適合度推定に関しては、著者らは最適なO~(d³/γ)のコピー複雑度を達成する適応的アルゴリズムを設計し、非適応的手法よりも厳密に優れている。

ABSTRACT

We consider the classic question of state tomography: given copies of an unknown quantum state $ρ\in\mathbb{C}^{d imes d}$, output $\widehatρ$ which is close to $ρ$ in some sense, e.g. trace distance or fidelity. When one is allowed to make coherent measurements entangled across all copies, $Θ(d^2/ε^2)$ copies are necessary and sufficient to get trace distance $ε$. Unfortunately, the protocols achieving this rate incur large quantum memory overheads that preclude implementation on near-term devices. On the other hand, the best known protocol using incoherent (single-copy) measurements uses $O(d^3/ε^2)$ copies, and multiple papers have posed it as an open question to understand whether or not this rate is tight. In this work, we fully resolve this question, by showing that any protocol using incoherent measurements, even if they are chosen adaptively, requires $Ω(d^3/ε^2)$ copies, matching the best known upper bound. We do so by a new proof technique which directly bounds the ``tilt'' of the posterior distribution after measurements, which yields a surprisingly short proof of our lower bound, and which we believe may be of independent interest. While this implies that adaptivity does not help for tomography with respect to trace distance, we show that it actually does help for tomography with respect to infidelity. We give an adaptive algorithm that outputs a state which is $γ$-close in infidelity to $ρ$ using only $ ilde{O}(d^3/γ)$ copies, which is optimal for incoherent measurements. In contrast, it is known that any nonadaptive algorithm requires $Ω(d^3/γ^2)$ copies. While it is folklore that in $2$ dimensions, one can achieve a scaling of $O(1/γ)$, to the best of our knowledge, our algorithm is the first to achieve the optimal rate in all dimensions.

研究の動機と目的

• 非適応的手法と比較して、適応的非干渉的測定が量子状態トモグラフィーにおけるコピー複雑度を改善できるかどうかを同定すること。
• 非干渉的トモグラフィーにおけるトレース距離のO(d³/ε²)の上界がタイトかどうかという長年の未解決問題を閉じること。
• 特に非干渉的測定の枠組みにおいて、適応的測定が不適合度に基づく状態学習のためのより良いレートを達成できるかどうかを調査すること。
• 適応的プロトコルに対するタイトな境界を証明するために、事後分布の「傾き（tilt）」を直接分析する新しいベイジアン下界技術を構築すること。
• 非干渉的測定制約下でのトレース距離および不適合度推定の両方における最適なコピー複雑度を確立すること。

提案手法

• 適応的測定後の事後分布の「傾き（tilt）」を分析する新しい証明技術を導入し、古典的情報理論フレームワークに依存しない。
• 不確実性をモデル化し、高い信頼性で推定状態を達成するために必要な測定回数の下界を導出するために、状態学習問題のベイジアン定式化を用いる。
• 行列濃度および作用素ノルムの不等式を適用して、特に適応的測定選択の影響を受ける場合の、事後分布と真の状態との乖離を束縛する。
• 測定演算子の固有値的性質を活用して、真の状態と推定状態との間のfidelityに対する有効な正定値下界を構築する。
• 不適合度推定のための適応的アルゴリズムを設計し、O~(d³/γ)枚のコピーを用い、対数的回数の適応的段階を経て、最適なレートを達成する。
• 測定戦略に再帰的構造を導入し、各段階で過去の結果に基づいて推定値を精緻化することで、非適応的手法に比べて指数的改善を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非干渉的状態トモグラフィーにおけるトレース距離のO(d³/ε²)のコピー複雑度はタイトか、それとも適応的測定によって低減可能か？
• RQ2 適応的非干渉的測定は、非適応的手法よりも量子状態学習におけるコピー複雑度を改善できるか？
• RQ3 不適合度に基づく量子状態トモグラフィーにおける最適なコピー複雑度は何か？ また、適応的測定はそれを達成できるか？
• RQ4 事後分布の「傾き（tilt）」に基づく新しいベイジアンフレームワークは、適応的非干渉的測定プロトコルに対してタイトな下界を提供できるか？
• RQ5 対数的適応的測定が最適なレートを達成するのに十分か、それ以上の適応的測定が必要か？

主な発見

• 本論文は、トレース距離における非干渉的状態トモグラフィーに対して、タイトな下界Ω(d³/ε²)を確立し、適応的測定が非適応的手法に優位性を持たないことを証明した。
• この下界は、[KRT17]で知られているO(d³/ε²)の上界と一致しており、量子情報理論における長年の未解決問題を解決した。
• 不適合度推定に関しては、著者らはO~(d³/γ)のコピー複雑度を達成する適応的アルゴリズムを提示し、非干渉的測定において最適である。
• この新しいアルゴリズムは、非適応的下界Ω(d³/γ²)を上回っており、不適合度設定において適応的測定が2乗の優位性を示している。
• 事後分布の「傾き（tilt）」に基づく提案されたベイジアン証明技術は、強力で汎用的であり、他の量子学習問題への応用が可能である可能性がある。
• 著者らは、最適なレートを達成するには対数的回数の適応的測定が必要であると仮説を立てており、適応的深さとコピー複雑度の間のトレードオフがあると示唆している。