[論文レビュー] When does NIP transfer from fields to henselian expansions?

Franziska Jahnke|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、体からそのヘンゼル拡張へのNIP（依存）性がいつ伝播するかを調査する。体 $K$ がNIPで、ヘンゼル的順序 $v$ を持つならば、$Kv$ が純代数的閉でない限り、言語の環に順序環の記号を加えた $(K,v)$ はNIPである。主な結果は、シェラの拡張における順序の定義可能性と、カプランスキー体のための転送定理によって、このようなNIP伝播が成立することである。

ABSTRACT

Let $K$ be an NIP field and let $v$ be a henselian valuation on $K$. We ask whether $(K,v)$ is NIP as a valued field. By a result of Shelah, we know that if $v$ is externally definable, then $(K,v)$ is NIP. Using the definability of the canonical $p$-henselian valuation, we show that whenever the residue field of $v$ is not separably closed, then $v$ is externally definable. In the case of separably closed residue field, we show that $(K,v)$ is NIP as a pure valued field.

研究の動機と目的

• 体 $K$ からそのヘンゼル拡張 $(K,v)$ へのNIP性がいつ伝播するかを特定すること。
• NIP体 $K$ にヘンゼル的順序 $v$ が与えられたとき、環の言語に順序環の記号を加えた $(K,v)$ がNIPであるかどうかを調査すること。
• 標準的 $p$-ヘンゼル的順序が定義可能でない残留体 $Kv$ が純代数的閉である場合に、純体の言語に制限することで、標準的伝播が失敗する場合を解決すること。
• 残留体 $Kv$ が純代数的閉でない場合に、$K^{\mathrm{Sh}}$ における標準的 $p$-ヘンゼル的順序が定義可能であることを確立すること。
• 安定埋め込み条件の下で、NIP順序の合成がNIP構造をもたらすことを示すこと。

提案手法

• 残留体が純代数的閉でない場合にヘンゼル的順序が定義可能であることを示すために、シェラの拡張 $K^{\mathrm{Sh}}$ を用いる。
• 標準的 $p$-ヘンゼル的順序の定義可能性を応用し、$v$ が $K^{\mathrm{Sh}}$ で外部的に定義可能であることを示す。
• [JS19] および [AJ19a] の分離代数的閉最大カプランスキー体のための転送定理を適用し、残留体から値付き体へのNIPの転送を行う。
• 順序 $v$ を二つのNIP順序 $v = \bar{v} \circ w$ の合成に分解し、安定性および定義可能性の議論を適用する。
• 等特徴的0のヘンゼル的体および非分岐ヘンゼル的体における残留体の安定的埋め込みを活用し、合成におけるNIPの保存を保証する。
• スキャンロンの議論を変形し、NIP体に非完全残留体を持つ任意の順序が $\mathcal{L}_{\mathrm{ring}}$-定義可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NIP体 $K$ にヘンゼル的順序 $v$ が与えられたとき、環の言語に順序環の記号を加えた $(K,v)$ がいつNIPとなるか。
• RQ2 残留体が純代数的閉でない場合、標準的 $p$-ヘンゼル的順序がシェラの拡張で定義可能か。
• RQ3 残留体が純代数的閉である場合、残留体から値付き体へのNIPが転送可能か。
• RQ4 二つのNIPヘンゼル的順序の合成がNIP構造をもたらすか。
• RQ5 順序NIP体における任意の凸順序環が、順序体のシェラの拡張で定義可能か。

主な発見

• 体 $K$ がNIPで、$Kv$ が純代数的閉でないヘンゼル的順序 $v$ を持つならば、$v$ はシェラの拡張 $K^{\mathrm{Sh}}$ で定義可能であり、したがって $\mathcal{L} \cup \{\mathcal{O}\}$ において $(K,v)$ はNIPである。
• 残留体 $Kv$ が純代数的閉である場合、$v$ がシェラの拡張で定義可能でない場合でも、$(K,v)$ は純体としてNIPのままである。
• 残留体 $Kv$ が純代数的閉でない限り、標準的 $p$-ヘンゼル的順序は $K^{\mathrm{Sh}}$ で定義可能であり、これは $v$ の外部的定義可能性を示唆する。
• 任意の非自明なヘンゼル的順序を持つNIP体 $K$ に対して、$Kv$ が純代数的閉でない限り、$(K,v)$ が $\mathcal{L} \cup \{\mathcal{O}\}$ においてNIPであるような非自明なヘンゼル的順序 $v$ が存在する。
• 順序NIP体の場合、任意の凸順序環は順序体のシェラの拡張で定義可能であり、したがって $(K,v)$ は $\mathcal{L} \cup \{\mathcal{O}\}$ においてNIPである。
• より粗い順序の残留体が安定的埋め込みである場合、二つのヘンゼル的NIP順序の合成はNIPである。これは、分離代数的閉最大カプランスキー体および非分岐ヘンゼル的体で成立する。