[論文レビュー] When is a Connection a Levi-Civita Connection?

Richard Atkins|ArXiv.org|Apr 16, 2008

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、多様体上の対称接続がLevi-Civita接続であるかどうかを決定する包括的な基準を提示する。局所的および大域的平行計量の存在を分析することで、対称2次形式のバンドルにおける局所的平行切断を検出するための導来フラッグ構成を導入し、特にランク1の場合のde Rhamコホモロジーを含む層コホモロジーを用いて大域的障害を特徴づける。主な結果は、単連結多様体上の解析的接続は局所的に計量的であれば常に大域的計量を持つが、滑らかな接続は可縮空間であっても大域的平行計量を有しない可能性があることである。これは、導来フラッグにおけるファイバー次元の変化を示す構成例によって裏付けられる。

ABSTRACT

We consider the more general question as to when a connection is a metric connection. There are two aspects to this investigation: first, the determination of the integrability conditions that ensure the existence of a local parallel metric in the neighbourhood of a given point and second, the characterization of the topological obstruction to a globally defined parallel metric.

研究の動機と目的

• 多様体上の対称接続がLevi-Civita接続であるための必要十分条件を特定すること。
• ベクトルバンドルの導来フラッグにおける積分可能性条件を用いて、平行計量の局所的存在を特徴づけること。
• 一般線型群の層コホモロジーを用いて、平行計量の大域的存在における位相的障害を同定すること。
• 解析的接続と滑らかな接続を対比し、解析性が局所的計量の拡張を保証する一方、滑らかさでは保証されないことを示すこと。
• R²上に存在する滑らかで局所的に計量的だが大域的には計量でない接続の反例を構成し、滑らかさのカテゴリにおける病理を強調すること。

提案手法

• 対称共変2次形式バンドルの部分集合の導来フラッグを構成し、局所的非自明な平行切断を検出する。
• 接続と射影を用いて写像 αW′: W′ → (W/W′) ⊗ T*M を定義し、その核を分析して積分可能性条件を特定する。
• 終端部分集合 W̃ を用いて局所的平行計量の存在を判定する。W̃ が非自明なベクトルバンドルであれば、局所的にこのような計量が存在する。
• 正則接続の場合、大域的計量の存在を定数層 GL(n, ℝ) の1次コホモロジー群 H¹(M, Gₙ) を用いて定式化する。
• 導来バンドルのランクが1の場合、de Rhamコホモロジーを適用し、障害を H¹dR(M) 内の閉1次形式に結びつける。
• 解析的延長を用いて、解析的多様体上の解析的接続が、平行切断の全球的整合性を保証する導来バンドル W̃ を一意に定義できることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体上の対称接続が、各点の近傍で局所的に平行計量を持つための条件は何か？
• RQ2 局所的に計量的である接続が、大域的に定義された平行計量を持たないのを妨げる位相的または幾何的障害は何か？
• RQ3 対称2次形式バンドルの導来フラッグが、局所的平行切断の存在をどのように決定するか？
• RQ4 滑らかな局所的計量的接続が、可縮多様体であっても大域的には計量でないのはなぜか？解析的接続とは何が異なるのか？
• RQ5 導来バンドル W̃ がベクトルバンドルでない（例えば、ファイバー次元が変化する）場合、それが大域的計量の存在をどのように妨げるのか？

主な発見

• 接続が局所的に計量的であるための必要十分条件は、対称2次形式バンドルの導来フラッグが、局所的にベクトルバンドルである非自明な部分バンドル W̃ を生成することである。
• 正則接続の場合、大域的平行計量の存在は、H¹(M, GL(n, ℝ)) 内のコホモロジー類の消滅と同値であり、平坦なベクトルバンドルの分類を一般化する。
• 導来バンドル W̃ がランク1である場合、大域的計量の障害は H¹dR(M) 内の de Rham コホモロジー類に符号化される。
• 解析的多様体上で単連結な解析的接続は、局所的に計量的であれば、解析的延長により平行切断の全球的整合性が保証され、結果として大域的計量を持つ。
• R²上に、滑らかで局所的に計量的だが大域的には計量でない接続が存在する。これは、W̃ のファイバー次元の不連続性（1 → 3 → 1）により、層コホモロジーの定式化が不可能であるためである。
• この例は、滑らかな接続が局所的平行計量を持つが、それが大域に拡張されない可能性があることを示しており、可縮多様体であっても解析的場合とは異なり、滑らかさのカテゴリには病理的性質が存在することを示している。