[論文レビュー] When is Galois cohomology free or trivial?

Nicole Lemire, Ján Mináč+1 more|ArXiv.org|Oct 29, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$ p $ 次の巡回拡大 $ E/F $ に対して、ガロアコホモロジー群 $ H^n(E) = H^n(G_E, \mathbb{F}_p) $ が $ \mathbb{F}_p[\text{Gal}(E/F)] $-加群として自由または自明であるための厳密な条件を、カップ積構造と annihilator を用いて特定する。主な貢献は、$ F $ におけるコホモロジー的条件に基づく自由性および自明性の完全な特徴付けであり、任意の所望のコホモロジー次元および自由性／自明性の閾値を達成する拡大の明示的構成を提供する。

ABSTRACT

Let p be a prime and F a field containing a primitive pth root of unity. Let E/F be a cyclic extension of degree p and G_E < G_F the associated absolute Galois groups. We determine precise conditions for the cohomology group H^n(E)=H^n(G_E,Fp) to be free or trivial as an Fp[Gal(E/F)]-module. We examine when these properties for H^n(E) are inherited by H^k(E), k>n, and, by analogy with cohomological dimension, we introduce notions of cohomological freeness and cohomological triviality. We give examples of H^n(E) free or trivial for each n in N with prescribed cohomological dimension.

研究の動機と目的

• $ p $ 次の巡回拡大 $ E/F $ に対して、$ H^n(E) $ が $ \mathbb{F}_p[\text{Gal}(E/F)] $-加群として自由であるための正確な条件を同定すること。
• $ H^n(E) $ が $ \mathbb{F}_p[\text{Gal}(E/F)] $-加群として自明であるための条件を確立すること。
• $ n \geq 1 $ のコホモロジー次元にわたる自由性および自明性の遺伝的性質を調査すること。
• 任意の $ n \leq m \leq \infty $ に対して、$ \operatorname{cf}(E/F) = n $ および $ \operatorname{ct}(E/F) = n $ であるような巡回拡大 $ E/F $ の明示的構成；$ G_E $ がコホモロジー次元 $ m $ のプロ $ p $-群である場合。

提案手法

• Kummer同型を用いて $ H^1(F) $ を $ F^\times $ の $ p $ 乗類と同一視し、$ H^2(F) $ におけるカップ積を用いる。
• カップ積作用の下での annihilator $ \operatorname{ann}_n(x) $、特に $ \operatorname{ann}_{n-1}(a) $ の定義を用いて、コホモロジー的自由性を特徴付ける。
• VoevodskyによるBloch-Kato予想の証明を応用し、ミルノK理論およびガロアコホモロジーにおける同値条件を導出する。
• 特定のコホモロジー次元を持つように、$ G_{F_n} \star_{\text{pro-}p} G_{F_m} $ の形をしたプロ $ p $-群の自由結合の形で、体 $ F $ を構成する。
• 制限写像 $ \operatorname{res}: H^n(F) \to H^n(E) $ および核制限写像 $ \operatorname{cor}: H^n(E) \to H^n(F) $ を用いて、加群構造と完全系列を分析する。
• $ E = F(\sqrt[p]{a}) $ となるように $ a \in F^\times $ を明示的に選ぶ；$ \operatorname{res}_\star(a) $ が $ H^1(F_n) \oplus H^1(F_m) $ に特定の成分を持つようにし、コホモロジー的挙動を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $ a \in F^\times $ に対して $ H^n(E) $ が $ \mathbb{F}_p[\text{Gal}(E/F)] $-加群として自由になるか？
• RQ2 $ H^n(E) $ が自明な $ \mathbb{F}_p[\text{Gal}(E/F)] $-加群となるのはいつか？この性質は高次元へと拡張可能か？
• RQ3 自由性または自明性が $ m > n $ に対して $ H^m(E) $ に引き継がれる条件は何か？
• RQ4 任意の $ p $ 次巡回拡大 $ E/F $ を構成可能か？そのとき $ H^n(E) $ は自由または自明であるが、より低い次元ではそうではない。また、$ G_E $ が所望のコホモロジー次元を持つプロ $ p $-群である。
• RQ5 annihilator $ \operatorname{ann}_n(a) $、$ (a) $ とのカップ積、および $ H^n(E) $ の加群構造との関係は何か？

主な発見

• $ p > 2 $ のとき、$ H^n(E) $ が $ \mathbb{F}_p[G] $-加群として自由であるための必要十分条件は、$ H^{n-1}(F) = \operatorname{ann}_{n-1}(a) $、あるいは同値に、制限写像 $ \operatorname{res}: H^n(F) \to H^n(E) $ が単射であることである。
• $ p = 2 $ のとき、$ H^n(E) $ が自由であるための必要十分条件は、$ \operatorname{ann}_{n-1}(a) = \operatorname{ann}_{n-1}(a,-1) $ かつ $ H^n(F) = \operatorname{cor} H^n(E) + (a) \cup H^{n-1}(F) $ であること、あるいは同値に $ H^n(F) = \operatorname{ann}_n(a) \oplus (a) \cup H^{n-1}(F) $ であることである。
• $ p > 2 $ のとき、自由コホモロジーは遺伝的である。また $ p = 2 $ で $ a \in (F^{\times 2} + F^{\times 2}) \setminus F^2 $ のときも同様である。つまり、$ H^n(E) $ が自由ならば、すべての $ m \geq n $ に対して $ H^m(E) $ も自由である。
• 自明コホモロジーは常に遺伝的である：$ H^n(E)^G = H^n(E) $ ならば、すべての $ m \geq n $ に対して $ H^m(E)^G = H^m(E) $ が成り立つ。
• 任意の $ 1 \leq n \leq m \leq \infty $ に対して、$ \operatorname{ct}(E/F) = n $ かつ $ \operatorname{cd}(G_E) = m $ であるような巡回拡大 $ E/F $ が存在する。これは、$ G_F \cong \mathbb{Z}_p^n \star_{\text{pro-}p} \mathbb{Z}_p^m $ かつ適切な $ a \in F^\times $ の選択により構成可能である。
• $ m = \infty $ の場合、$ \operatorname{ct}(E/F) = \infty $ であるような $ E/F $ を構成可能であり、自明コホモロジーがすべての次元で成立しうることを示している。