[論文レビュー] When is the (co)sine of a rational angle equal to a rational number?

Jörg Jahnel|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2010

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ひとこと要約

本稿は、度で表された有理数の角αについて、cos(α) や sin(α) が有理数または代数的数となる条件を調査する。三角恒等式、単位根の性質、ガロア理論を用いて、cos(α) が有理数となるのは特定の角度（0°, 60°, 90°, 120°, 180°）に限られることを証明し、オイラーのトーティエント関数 φ(n) を用いて代数的値を特徴づける。有理数の角 α = m/n·360° に対して、2cos(α) は代数的整数であり、その次数は φ(n)/2 であることを示す。

ABSTRACT

If the cosine of a rational multiple of $π$ is a rational number then it is an integral multiple of $\frac12$. For this fact, we give a proof accessible to an interested school student. We then discuss which quadratic and cubic irrationalities are values of cosine at ratinal multiples of $π$.

研究の動機と目的

• 有理数の角α に対して、cos(α) や sin(α) が有理数となる条件を特定すること。
• 有理数の角α に対して、cos(α) が代数的整数となる低次の状況にまで拡張すること。
• 有理数の角 α = m/n·360° に対して、代数的数 cos(α) の次数とオイラーのトーティエント関数 φ(n) の正確な関係を確立すること。
• 等分布理論とディリクレのボックス原理を用いて、無理数の角による回転が SO₂(ℝ) にどのように密に分布するかを正当化すること。
• 任意の指定された次数の代数的数となる有理数の角を完全に分類すること。

提案手法

• 分母の次数を下げることで cos(α) の有理性を解析するため、倍角恒等式 cos(2α) = 2cos²(α) − 1 を用いる。
• チェビシェフ多項式 T_n を用いた恒等式 cos(nα) = T_n(cos(α)) を適用し、cos(α) が整数係数のモニック多項式を満たすことを示す。
• 複素単位根を活用：α = m/n·360° のとき 2cos(α) = ζ_n^m + ζ_n^{-m} であり、2cos(α) が代数的整数であることを示す。
• ガロア理論を用いる：[ℚ(ζ_n):ℚ] = φ(n) であり、cos(α) ∈ ℝ であることから、n > 2 のとき [ℚ(cos(α)):ℚ] = φ(n)/2 である。
• ディリクレのボックス原理を適用し、無理数の角の倍数が 360° で法とすると稠密であることを証明し、SO₂(ℚ) が SO₂(ℝ) に稠密であることを正当化する。
• 20°, 40° など、2cos(α) の最小多項式を x³ − 3x ± 1 のような形で分析し、代数的次数を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数の角α に対して、cos(α) が有理数となるのはいつか？
• RQ2 有理数の角α に対して、cos(α) として現れる代数的数は何か？ その次数はどのように決定されるか？
• RQ3 なぜ arccos(3/5) の回転は無理数の角であり、SO₂(ℝ) における稠密性とどのように関係するか？
• RQ4 有理数の角 α = m/n·360° に対して、代数的数 cos(α) の次数とオイラーのトーティエント関数 φ(n) はどのように関係するか？
• RQ5 cos(α) が四次または五次無理数となる [0°, 90°] 内のすべての有理数の角αは何か？

主な発見

• cos(α) が有理数であるのは、α ∈ {0°, 60°, 90°, 120°, 180°} の場合に限られ、それぞれ cos(α) ∈ {−1, −1/2, 0, 1/2, 1} に対応する。
• gcd(m,n) = 1 である有理数 α = m/n·360° に対して、2cos(α) は ℚ 上の代数的整数であり、その次数は φ(n)/2 である。
• φ(n) = 8 のとき、cos(α) は四次無理数である。これは n = 15, 16, 20, 24, 30 のときに起こり、12°, 15°, 18°, 22.5°, 24°, 30°, 48°, 54°, 60°, 67.5°, 72°, 75°, 84° などの角度が含まれる。
• φ(n) = 10 のとき、cos(α) は五次無理数である。これは n = 11 および 22 のときにのみ起こり、180°/11 ≈ 16.36°, 2×180°/11 ≈ 32.73° などの角度が含まれる。
• arccos(3/5) の回転は無理数の角である。なぜなら cos(α) = 3/5 は有理数の集合に属さないからであり、このことは、対応する行列のべき乗が SO₂(ℝ) の稠密部分群を生成することを意味する。
• φ が無理数の角であるとき、{nφ mod 360° | n ∈ ℕ} は [0°, 360°) に稠密である。これはディリクレのボックス原理により証明される。