[論文レビュー] When roll-overs do not qualify as numéraire: bond markets beyond short rate paradigms

Irene Klein, Thorsten Schmidt+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、流動性の影響、特に複数の収益率曲線を有する市場において、一般的に基準通貨として用いられる銀行口座プロセスが有効な基準通貨として機能しない可能性があることを示すことで、債券市場のモデル構築を再定義する。無裁定条件（NAFL および NAA1）が、終端債券を基準通貨とする等価局所マルティンゲール測度の存在と同値であることを確立し、銀行口座が真の基準通貨でない場合でさえも、ロールオーバー戦略の極限として一般化された銀行口座が出現することを証明する。

ABSTRACT

We investigate default-free bond markets where the standard relationship between a possibly existing bank account process and the term structure of bond prices is broken, i.e. the bank account process is not a valid numéraire. We argue that this feature is not the exception but rather the rule in bond markets when starting with, e.g., terminal bonds as numéraires. Our setting are general càdlàg processes as bond prices, where we employ directly methods from large financial markets. Moreover, we do not restrict price process to be semimartingales, which allows for example to consider markets driven by fractional Brownian motion. In the core of the article we relate the appropriate no arbitrage assumptions (NAFL), i.e. no asymptotic free lunch, to the existence of an equivalent local martingale measure with respect to the terminal bond as numéraire, and no arbitrage opportunities of the first kind (NAA1) to the existence of a supermartingale deflator, respectively. In all settings we obtain existence of a generalized bank account as a limit of convex combinations of roll-over bonds. Additionally we provide an alternative definition of the concept of a numéraire, leading to a possibly interesting connection to bubbles. If we can construct a bank account process through roll-overs, we can relate the impossibility of taking the bank account as numéraire to liquidity effects. Here we enter endogenously the arena of multiple yield curves. The theory is illustrated by several examples.

研究の動機と目的

• 債券市場において銀行口座プロセスが常に有効な基準通貨であるという標準的仮定に挑戦すること。
• 標準的な債券価格と銀行口座の関係が崩壊する債券市場を調査すること、特に銀行口座が任意の同値測度の下でマルティンゲールでない場合に注目する。
• 半マルティンゲールの性質を仮定しない状況において、終端債券を基準通貨とする無裁定フレームワークを構築すること。
• 銀行口座が有効な基準通貨でない場合でさえも、凸結合によるロールオーバー債券の極限として一般化された銀行口座が出現することを形式化すること。
• 銀行口座が基準通貨として機能しないことと、流動性の影響および複数の収益率曲線のダイナミクスの関係を明らかにし、このような市場構造の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 一般の右連続左極限（càdlàg）債券価格プロセスを、半マルティンゲールの性質を仮定せずに分析するため、大規模金融市場理論を用いる。
• NAFL（漸近的フリー・ランチなし）およびNAA1（第一種アービタージュなし）による無裁定を定義し、終端債券を基準通貨とする等価局所マルティンゲール測度の存在と関連付ける。
• 細分分割を refining する過程で短期債券の凸結合を用いたロールオーバー戦略の極限として、一般化された銀行口座を構築する。
• 終端債券を基準通貨とする変数基準通貨変換技術を適用し、同値測度の下で割引債価格がマルティンゲールであることを示す。
• バブルの可能性を許容する基準通貨の新しい定義を導入し、銀行口座が基準通貨として機能しないことと厳密な局所マルティンゲールの振る舞いとの関連を結びつける。
• 特に、分数ブラウン運動と伊藤型積分を用いた確率解析的手法を用い、半マルティンゲールでない価格プロセスをモデル化する。特に $ W_t^2 $-駆動ダイナミクスの例に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 債券市場において、銀行口座プロセスが基準通貨として機能しなくなる条件は何か？
• RQ2 銀行口座が有効な基準通貨でない場合、無裁定条件（NAFL および NAA1）はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 銀行口座が任意の同値測度の下でマルティンゲールでない債券市場において、終端債券が基準通貨として果たす役割は何か？
• RQ4 半マルティンゲール価格プロセスを持たない市場において、ロールオーバー戦略の極限として一般化された銀行口座はどのように出現するか？
• RQ5 銀行口座が基準通貨として機能しないことと、複数の収益率曲線システムにおける流動性の影響との関係は何か？

主な発見

• 銀行口座プロセスは、存在する場合でも、逆成長最適ポートフォリオの厳密な局所マルティンゲール性のため、有効な基準通貨でない可能性がある。
• 無裁定（NAFL）は、終端債券を基準通貨とする等価局所マルティンゲール測度の存在と同値である。
• 第一種アービタージュなし（NAA1）は、スーパーマルティンゲールディフェレーターの存在と同値である。
• 一般化された銀行口座は、半マルティンゲールでない設定（例：分数ブラウン運動駆動）においても、ロールオーバー債券の凸結合の極限として出現する。
• 例として $ Z(T) = \exp(T - 2\int_0^T W_s^2 ds - W_T^2) $ を用いるとき、割引ロールオーバー口座 $ V(T) = Z(\tau(T)) $ は $ T \to \infty $ でほとんど確実に 0 に収束し、$ B(1) = 0 $ を示唆する。これはロールオーバー戦略が完全な資本損失をもたらすことを意味する。
• ロールオーバー口座 $ B^n $ の極限は $ \exp(-2\int_0^{\tau(T)} W_s^2 ds + \tau(T) - \tau^2(T)) $ に収束し、これは、元のプロセスが真のマルティンゲールでない場合、無リスクと見なされるロールオーバー戦略が極めてリスクの高いものになり得ることを示している。