[論文レビュー] When Superspace Is Not Enough

S. James Gates, William D. Linch+1 more|ArXiv.org|Nov 6, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用数 40

ひとこと要約

本稿では、特殊な実クリフォード代数のクラス、一般実代数 ${\cal GR}(d,N)$ に基づく1次元理論から時空超対称性が生じることを提案する。この代数は超対称多重項を行列表現で記述する。高次元の超対称理論を0-brane上で還元することで、時空超対称性が1次元系から導かれることを示し、時空がKO理論におけるバンドルとして現れる幾何的解釈が得られ、長年の非オフシェル超対称性の問題が解決され、BF理論を介して可積分系と結びつく。

ABSTRACT

We give an expanded discussion of the proposal that spacetime supersymmetry representations may be viewed as having their origins in 1D theories that involve a special class of real Clifford algebras. These 1D theories reproduce the supersymmetric structures of spacetime supersymmetric theories after the latter are reduced on a 0-brane.

研究の動機と目的

• 1次元理論における実クリフォード代数を用いて、時空超対称性表現の起源を解明すること。
• N-拡張超対称理論に対する非オフシェル線形表現を構成するという長年の問題を解決すること。
• 一般実代数 ${\cal GR}(d,N)$ が、1次元還元を通じて高次元における超多重項の構造を符号化できることを示すこと。
• 時空をKO理論におけるバンドルとして解釈することで、超対称性とKO理論との幾何的関係を確立すること。
• ゼロ曲率条件を介して、N-拡張超対称BF理論と可積分系との関係を探索すること。

提案手法

• 2つの$d$次元ベクトル空間${{\cal V}_L}$と${{\cal V}_R}$間の線形写像として定義される、一般実代数 ${\cal GR}(d,N)$ を導入し、特定の合成則を満たす。
• ${\cal GR}(d,N)$ の明示的行列実現を用いて、N-拡張スピン粒子の非オフシェル作用を構成し、補助場が一貫して含まれるようにする。
• 構造行列$f_{{\rm I}_1\cdots{\rm I}_k}$の積のトレースを用いて、成分場上に内積$\left<\cdot,\cdot\right>$を定義し、運動項の正定値性を保証する。
• ${\cal GR}(d,N)$に基づく1次元理論を還元することで、高次元における超多重項を構成し、成分場および超対称変換が代数的構造から生じることを示す。
• 内積における非ゼロトレースが正定値であることを示し、ラグランジアンにおけるゴースト状態の存在を防ぎ、ユニタリティを保証する。
• $N$-拡張BF理論に形式的枠組みを適用し、ゼロ曲率条件が代数的枠組みから自然に導かれることを示し、可積分性の可能性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元理論における実クリフォード代数を用いて、時空超対称性表現を体系的にどのように導出できるか。
• RQ2 一般実代数 ${\cal GR}(d,N)$ が、非オフシェルN-拡張超多重項を統一的に構成する枠組みを提供できるか。
• RQ3 ${\cal GR}(d,N)$代数が、次元を越えて超対称場の内容を整理する上で果たす幾何的役割は何か。
• RQ4 成分場上の内積構造が、ラグランジアンにおけるゴースト状態の不在をどのように保証するか。
• RQ5 ${\cal GR}(d,N)$の代数的構造が、N-拡張BF理論におけるゼロ曲率条件を自然に導くことができ、可積分性を示唆するか。

主な発見

• 一般実代数 ${\cal GR}(d,N)$ は、すべての$N$に対して補助場が完全に決定される1次元におけるN-拡張超対称性の完全な非オフシェル表現を提供し、25年間の問題を解決する。
• 成分場上の内積$\left<\cdot,\cdot\right>$は、$f$-行列を含むトレース構造のおかげで正定値の運動項をもたらし、古典的ゴーストの不在を保証する。
• 高次元における超多重項の成分場は、${\cal GR}(d,N)$の行列表現に符号化されており、代数は超対称変換の生成子として機能する。
• ${\cal GR}(d,N)$に基づくモデルの1次元還元から時空超対称性が生じることを示し、時空自体がKO理論におけるバンドルとして見なされる可能性がある。
• 形式的枠組みは自然にN-拡張BF理論におけるゼロ曲率条件を導き、${\cal GR}(d,N)$の代数的構造を通じて可積分系との潜在的関係を示唆する。
• トレース構造$\mathrm{tr}[f_{{\rm I}_1\cdots{\rm I}_{2p}} f_{{\rm J}_{2q}\cdots{\rm J}_1}]$は$p=q$のとき正定値であり、ラグランジアンのユニタリティと安定性を保証する。