[論文レビュー] Which distributions of matter diffract? - Some answers

Michael Baake, Robert V. Moody+2 more|ArXiv.org|Jan 15, 2003

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 31被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、重み付きディラックコンブとしてモデル化された物質の分布が、純粋な点状回折スペクトル（Blochピークのみ）を示す厳密な数学的条件を確立する。自己相関測度とフーリエ解析、およびカットアンドプロジェクション方式を用いて、ユークリッド的または非ユークリッド的内部空間を有するモデル集合（准結晶やランダムタイリングを含む）が、自己相関が強く殆ど周期的である場合に純粋な点状回折を示すことを証明する。

ABSTRACT

This review revolves around the question which general distribution of scatterers (in a Euclidean space) results in a pure point diffraction spectrum. Firstly, we treat mathematical diffration theory and state conditions under which such a distribution has pure point diffraction. We explain how a cut and project scheme naturally appears in this context and then turn our attention to the special situation of model sets and lattice substitution systems. As an example, we analyse the paperfolding sequence. In the last part, we summarize some aspects of stochastic point sets, with focus both on structure and diffraction.

研究の動機と目的

• 物質の分布のうち、純粋な点状回折スペクトル（すなわち、Blochピークのみ）を生成するものを探ること。
• 移動有界測度と自己相関を用いて、回折における純粋な点状性の数学的厳密な基準を確立すること。
• カットアンドプロジェクション方式および内部空間が、準周期的およびランダム系における純粋な点状スペクトルの生成に果たす役割を明確にすること。
• ランダムタイリングや確率過程を含む不規則系への回折理論の拡張。
• 同型回折（ホモモルフィズム）を特徴づける逆問題に取り組むこと、すなわち、同一の回折パターンを持つ構造を特定すること。

提案手法

• ユークリッド空間内における移動有界複素測度（重み付きディラックコンブ）として物質分布をモデル化する。
• 自己相関測度 γω を、測度とその双対との体積平均畳み込みの曖昧極限として定義する。
• リーマン分解定理を適用して、回折スペクトルを純粋な点状、絶対連続、特異連続成分に分離する。
• 自己相関のフーリエ変換を用いて回折パターンを分析し、特に純粋な点状成分に注目する。
• 内部空間 H（ユークリッド的または非ユークリッド的）を用いたカットアンドプロジェクション方式を用いてモデル集合を構成し、その回折スペクトルを導出する。
• 内部空間における窓関数 φ に課される条件を確立し、その結果得られる測度が純粋な点状回折スペクトルを持つようにする。その条件として、|y|^{m+1+α}φ(y) → 0 となるような減衰条件を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 格子または非周期的集合上に定義された重み付きディラックコンブが、どのような条件下で純粋な点状回折スペクトルを生成するか。
• RQ2 非ユークリッド的内部空間を有するカットアンドプロジェクション方式が、モデル集合の回折特性にどのように影響を与えるか。
• RQ3 内部空間が、準周期的ランダムタイリングの回折スペクトルを決定づける役割を果たすか。
• RQ4 ランダムタイリングの回折スペクトルが完全に点状である可能性はあり、その条件は何か。
• RQ5 自己相関の殆ど周期的性質と、回折スペクトルの純粋な点状性との関係は何か。

主な発見

• φ が連続的かつ |y|^{m+1+α}φ(y) → 0 を満たすような α > 0 が存在する場合、重み付きディラックコンブ ω = ∑_{x∈L} φ(x⋆) δ_x は、一意的で移動有界な自己相関 γω = ∑_{z∈L} η(z) δ_z を持つ。
• 自己相関 γω は正定値の純粋な点状測度であり、そのフーリエ変換は正の純粋な点状測度であり、ħγω = (1/vol(FD)²) ∑_{y∈L*} |φ̂(−y⋆)|² δ_y で与えられる。
• 回折スペクトルが純粋に点状であるための必要十分条件は、自己相関が強く殆ど周期的であることであり、これは回折測度の純粋な点状性と同値である。
• フィボナッチランダムタイリングの例では、測度列の極限が自明な離散部と連続部を持ち、回折スペクトルは窓関数のフーリエ変換によって決定される。
• 格子置換系の回折は、結果として得られる測度が純粋な点状スペクトルを持つ条件によって特徴づけられ、定理6がその基準を提供する。
• ホモモルフィズムの逆問題は未解決のままである：複数の異なる測度が同一の自己相関と、したがって同一の回折パターンを持つことがある。これにより、新たな特徴づけツールの必要性が浮き彫りになる。