[論文レビュー] Whitehead modules over large principal ideal domains

Paul C. Eklof, Saharon Shelah|ArXiv.org|Nov 27, 2000

Rings, Modules, and Algebras参考文献 5被引用数 12

ひとこと要約

この論文はZFCにおいて、非自由なホワイトヘッドモジュール（$\mathrm{Ext}^1_R(M,R) = 0$ を満たすモジュール $M$）を含む、サイズ $\aleph_2$ および $2^{\aleph_1}$ のスレーン型主イデアル整域（p.i.d.）が存在することを確立する。これにより、大きなp.i.d.におけるホワイトヘッド問題がZFCから独立であることが示される。主な結果は、特定の大きなp.i.d.ではホワイトヘッドモジュールが自由であるとは限らないことであり、これは $\aleph_1$-生成モジュールの場合はV=Lが自由性を示すのとは対照的である。

ABSTRACT

We consider the Whitehead problem for principal ideal domains of large size. It is proved, in ZFC, that some p.i.d.'s of size >= aleph_{2} have non-free Whitehead modules even though they are not complete discrete valuation rings.

研究の動機と目的

• サイズ $> \aleph_1$ のp.i.d.に対して、ホワイトヘッド問題（p.i.d.上でのホワイトヘッドモジュールがすべて自由であるか）を調査すること。
• ZFCからホワイトヘッド問題の独立性が、特に完全離散付値環でないp.i.d.を含むより大きなp.i.d.に対しても保持されるかを特定すること。
• ホワイトヘッドモジュールが非自由になり得る、サイズ $\aleph_2$ および $2^{\aleph_1}$ の特定のp.i.d.を構成すること。
• 超限的構成および拡張技術を用いて、既知の $\aleph_1$-生成モジュールに関する結果をより大きな基数へ拡張すること。

提案手法

• 超限帰納法を用いて、サイズ $2^{\aleph_1}$ の局所的スレーン型p.i.d. $R$ を構成し、すべての $\aleph_1$-自由かつ $\aleph_1$-生成モジュール $F/K$ に対して $\mathrm{Ext}^1_R(F/K, R) = 0$ が成り立つように保証すること。
• 持ち上げ補題の応用：$R$-準同型 $\phi: K \to R$ が与えられたとき、$|R^+| = |R| + \aleph_1$ となるより大きなp.i.d. $R^+$ に対して、$R^+ \otimes_R K \to R^+$ への拡張を行い、拡張性質を保つこと。
• 特定の集合によって添字づけられた不定元をもつ $\mathbb{Q}$ 上の多項式環の局所化として環 $R^*$ を定義し、p.i.d.のままかつ必要な拡張条件を満たすように保証すること。
• $\aleph_2$ 以下の順序数上で再帰的構成を実行し、各段階ですべての $\aleph_1$-自由かつ $\aleph_1$-生成モジュールに対して拡張性質が保たれることを保証すること。
• $\aleph_1$-自由かつ $\aleph_1$-生成モジュールがポントリャーギンの基準を満たすため、$\mathrm{Ext}^1$ の消滅がホワイトヘッド性を示すことを利用すること。
• $\kappa \geq \aleph_1$ なる任意の非可算基数に対して一般化し、$\kappa$-生成ホワイトヘッドモジュールが自由であるのは自由である場合に限ることを示すp.i.d.を構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p.i.d.の基数が $> \aleph_1$ の場合、ホワイトヘッド問題がZFCから独立のままであるか？
• RQ2 $\aleph_2$ や $2^{\aleph_1}$ のサイズのスレーン型p.i.d.上に非自由ホワイトヘッドモジュールが存在するか？
• RQ3 サイズ $\aleph_2$ のp.i.d.が存在し、それが完全離散付値環でないにもかかわらず、すべての $\aleph_1$-生成ホワイトヘッドモジュールが自由であるか？
• RQ4 非自由ホワイトヘッドモジュールの構成を、任意の非可算基数 $\kappa \geq \aleph_1$ のp.i.d.へ拡張可能か？
• RQ5 p.i.d.にどのような条件を課すと、$\kappa$-生成ホワイトヘッドモジュールの自由性が、モジュールが自由であることと同値になるか？

主な発見

• サイズ $2^{\aleph_1}$ のスレーン型p.i.d. $R$ が存在し、$R$ 上のすべての $\aleph_1$-自由かつ $\aleph_1$-生成 $R$-モジュールがホワイトヘッドモジュールである。これにより、$R$ 上に非自由ホワイトヘッドモジュールが存在することが示される。
• サイズ $\aleph_2$ のp.i.d. $R$ が存在し、$R$-モジュールが $\aleph_1$-生成かつホワイトヘッドであるのは、それが自由である場合に限る。これにより、より大きなサイズでも自由性の条件を強制できることを示している。
• 任意の $\kappa \geq \aleph_1$ に対して、サイズ $\kappa$ の局所p.i.d. $R$ が存在し、$R$-モジュールでサイズ $\leq \kappa$ かつホワイトヘッドであるものはすべて自由である。
• ZFCにおいて、完全離散付値環でないp.i.d.に対しても、サイズ $\geq \aleph_2$ の非自由ホワイトヘッドモジュールが存在する。
• 構成により、大きなp.i.d.上でのホワイトヘッドモジュールの振る舞いは、$\aleph_1$-ケースとは根本的に異なることが示され、V=Lがすべてのホワイトヘッドモジュールが自由であることを示すのとは対照的である。
• 結果として、サイズ $\geq \aleph_2$ のp.i.d.におけるホワイトヘッド問題は、ZFCのみでは決定できないことが示され、GCHを仮定しても同様である。