[論文レビュー] Whitham modulation theory for generalized Whitham equations and a general criterion for modulational instability

Adam L. Binswanger, Mark A. Hoefer+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2020

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 73被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、任意の非線形フラックス関数 f(u) と線形分散関係 Ω(k) を含むように、Whitham 方程式を一般化し、Whitham 調制理論の普遍的枠組みを導出する。modulational instability（包絡線安定性）の一般化された Lighthill-Whitham 基準 n(u,k)Ω''(k) < 0 を確立し、これは f(u) と Ω(k) に明示的に依存しており、水波、内部波、および水弾性系を含む多様な物理系における安定性解析を可能にする。

ABSTRACT

The Whitham equation was proposed as a model for surface water waves that combines the quadratic flux nonlinearity $f(u) = frac{1}{2}u^2$ of the Korteweg-de Vries equation and the full linear dispersion relation $\Omega(k) = \sqrt{k anh k}$ of uni-directional gravity water waves in suitably scaled variables. This paper proposes and analyzes a generalization of Whitham's model to unidirectional nonlinear wave equations consisting of a general nonlinear flux function $f(u)$ and a general linear dispersion relation $\Omega(k)$. Assuming the existence of periodic traveling wave solutions to this generalized Whitham equation, their slow modulations are studied in the context of Whitham modulation theory. A multiple scales calculation yields the modulation equations, a system of three conservation laws that describe the slow evolution of the periodic traveling wave's wavenumber, amplitude, and mean. In the weakly nonlinear limit, explicit, simple criteria in terms of general $f(u)$ and $\Omega(k)$ establishing the strict hyperbolicity and genuine nonlinearity of the modulation equations are determined. This result is interpreted as a generalized Lighthill-Whitham criterion for modulational instability.

研究の動機と目的

• 元の Whitham 方程式を超えて、任意の f(u) と Ω(k) を有する広範な一般化 Whitham 方程式族への Whitham 調制理論の拡張。
• 周期的進行波の波数、振幅、平均の遅い変動を記述する3つの保存則としての調制方程式の導出。
• 弱非線形領域における調制不安定性の一般化された Lighthill-Whitham 基準の確立。
• 重力・表面張力波、水弾性波、内部波を含む、地球流体力学的モデルへの理論の適用。
• 一般化モデルから非線形シュレーディンガー方程式（NLS）を普遍的に導出することで、フレームワークの有効性を示す。

提案手法

• Fourier乗算子の記号が Ω(q)/q である K∗ を用いて、一般化された Whitham 方程式を ut + f(u)x + K∗ux = 0 の形で定式化。
• 多重スケール漸近展開を適用し、波数、振幅、平均の遅い変数を記述する3つの保存則としての調制方程式を導出。
• 解析的取り扱いのため、調制平均をフーリエ領域で表現するために Plancherel の定理を用いる。
• 弱非線形極限において、調制系を明示的で準線形形式に表現。
• 調制系の厳密な双曲性と本質的非線形性の解析により、一般化された Lighthill-Whitham 基準を導出。
• 内部波系において密度比 ˜ρ = 0.5 および ˜ρ = 0.99 を含む、f(u) と Ω(k) を指定することで物理的モデルへの適用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の f(u) と Ω(k) を有するスカラー型フル分散波方程式に対して、Whitham 調制方程式の一般形は何か？
• RQ2 弱非線形領域において、周期的進行波の調制不安定性は f(u) と Ω(k) のどの関数的依存性によって決定されるか？
• RQ3 元の KdV に基づく定式化を超えて、一般化された Lighthill-Whitham 基準はどのように拡張されるか？
• RQ4 高次非線形性は、内部波系における周期的波の安定性境界にどのように影響を与えるか？
• RQ5 一般化された Whitham フレームワークを用いて、異なる物理的モデルに対して非線形シュレーディンガー方程式（NLS）を普遍的に導出できるか？

主な発見

• 一般化された Whitham 方程式の調制方程式は、波数、振幅、平均の遅い変動を支配する3つの保存則として導出された。
• 弱非線形極限において、調制系が厳密に双曲的かつ本質的に非線形であるための必要十分条件は、n(u,k)Ω''(k) < 0 であることが示された。ここで n(u,k) は f(u) と Ω(k) から導かれる非線形係数である。
• 調制不安定性の一般化された Lighthill-Whitham 基準は n(u,k)Ω''(k) < 0 として確立され、任意の f(u) と Ω(k) が指定されたモデルに適用可能な普遍的安定性条件を提供する。
• 密度比 ˜ρ = 0.99 の内部波系において、周期的波の安定領域と不安定領域は MI インデックス ˜n(0,k)Ω''(k) によって境界づけられ、青の点線が安定性境界を示している。
• フレームワークにより、各ケースごとに完全な漸近的再導出を実施することなく、一般化された Whitham モデルから NLS 方程式を直接導出可能である。
• 理論は KdV、Benjamin-Ono、中間長波、水弾性波系を含む広範な物理的モデルに適用可能であり、一般化された基準により明示的な安定性境界が決定される。