[論文レビュー] Whitney stratifications and the continuity of local Lipschitz Killing curvatures

Nhan Nguyen, Guillaume Valette|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、多項式的有界な o-最小構造における定義可能集合の局所リプシッツキリング曲率が、ホイットニー分離構造に沿って連続であり、かつ (w)-正則性条件を満たす分離構造では局所リプシッツ連続であることが確立される。著者らは、o-最小的幾何学および計量幾何学の高度な技術を用いて、ホイットニーおよび (w)-正則分離構造におけるこれらの曲率不変量の連続性と正則性を拡張した先行研究を発展させた。

ABSTRACT

We prove that local Lipschitz Killing curvatures of definable sets in a polynomially bounded o-minimal structure are continuous along strata of Whitney stratifications and locally Lipschitz if the stratifications are (w)- regular.

研究の動機と目的

• o-最小的幾何における (w)-正則分離構造からホイットニー分離構造への局所リプシッツキリング曲率の連続性および正則性の結果を拡張すること。
• 以前 (w)-正則分離構造において知られていた局所リプシッツキリング曲率の連続性が、より弱いホイットニー (b)-正則性条件下でも成り立つかどうかを調査すること。
• 特に多項式的有界な o-最小的構造の文脈において、これらの曲率不変量が連続または局所リプシッツ連続のままである条件を特定すること。
• この結果が非多項式的有界な o-最小的構造では成立しないことを示し、この制限の必要性を強調すること。

提案手法

• 特に多項式的有界なものを含む o-最小的構造の枠組みを用い、サブ解析的および半代数的幾何からの結果を一般化する。
• カウチ＝クロフトンの公式を適用して、グラスマン多様体上の積分およびオイラー＝ポワンカレ特性を用いて局所リプシッツキリング曲率を定義する。
• ハーディットの自明性定理およびファイバー上の一様有界性を用いて、定義可能集合の摂動における挙動を制御する。
• 曲線選択およびルゴースベクトル場を用いて、計量的および位相的性質を保つように、各層間の局所ホメオモルフィズムを構成する。
• 対称差の測度が C‖t−t'‖r^l で有界であるような集合 Δ(P,r,t,t') を用いた、射影の対称差に関する重要な推定を確立する。
• バレット（2013）およびコムテ（1998）の技術を適応し、近接する点における曲率の比較によって連続性および局所リプシッツ正則性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式的有界な o-最小的構造におけるホイットニー分離構造の各層に沿って、局所リプシッツキリング曲率の連続性は成立するか？
• RQ2 多項式的有界性を仮定しない場合、(w)-正則分離構造におけるこれらの曲率の局所リプシッツ正則性は保たれるか？
• RQ3 (w)-正則分離構造に用いられた技術が、より弱いホイットニー (b)-正則性条件下でも連続性の証明に適応可能か？
• RQ4 多項式的有界性が、局所リプシッツキリング曲率の連続性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 非多項式的有界な o-最小的構造において、密度または曲率が層に沿って連続でない反例は存在するか？

主な発見

• 多項式的有界な o-最小的構造における定義可能集合の局所リプシッツキリング曲率は、ホイットニー分離構造の各層に沿って連続である。
• 分離構造が (w)-正則性条件を満たす場合、局所リプシッツキリング曲率は多項式的有界性を仮定しなくても局所リプシッツ連続である。
• 証明は、近接する層間でオイラー特性の射影を保存する制御されたホメオモルフィズムの構成に依拠しており、誤差は C‖t−t'‖r^l で有界である。
• 射影におけるオイラー特性が異なる点の集合の対称差は、測度が C‖t−t'‖r^l で有界な集合 Δ(P,r,t,t') によって制御される。
• 非多項式的有界な o-最小的構造では、一般に連続性の結果は成り立たない。これは [12] における反例によって示された。
• 主な技術的進展は、[13] の計量的および位相的制御技術をホイットニー設定に適応したことであり、ルゴースベクトル場およびファイバー上の一様推定を用いた。