[論文レビュー] Whittaker Functions and Demazure Operators

Ben Brubaker, Daniel Bump+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、アフィンヘッケ代数を通じて、p-進群の表現論におけるIwahori固定Whittaker関数とDemazure作用素の明確な関係を確立する。標準的基底であるIwahori固定Whittakerベクトルは、$q^{-1} \to 0$ の特殊化によってDemazure特徴に変換され、Bott-Samelson分解に結びつく補正項を含むDemazure-Lusztig作用素を用いた再帰的アルゴリズムが提示され、すべてのワイル群元におけるWhittaker関数の一様な公式が得られる。

ABSTRACT

We consider a natural basis of the Iwahori fixed vectors in the Whittaker model of an unramified principal series representation of a split semisimple p- adic group, indexed by the Weyl group. We show that the elements of this basis may be computed from one another by applying Demazure-Lusztig operators. The precise identities involve correction terms, which may be calculated by a combinatorial algorithm that is identical to the computation of the fibers of the Bott-Samelson resolution of a Schubert variety. The Demazure-Lusztig operators satisfy the braid and quadratic relations satisfied by the ordinary Hecke operators, and this leads to an action of the affine Hecke algebra on functions on the maximal torus of the L-group. This action was previously described by Lusztig using equivariant K-theory of the flag variety, leading to the proof of the Deligne-Langlands conjecture by Kazhdan and Lusztig. In the present paper, the action is applied to give a simple formula for the basis vectors of the Iwahori Whittaker functions.

研究の動機と目的

• 分岐しない主系列表現におけるIwahori固定Whittakerベクトルの構造を理解すること。
• ワイル群のすべての要素に対して、トーラス要素におけるWhittaker関数の均一な公式をDemazure作用素を用いて確立すること。
• アフィンヘッケ代数を通じて、p-進群の表現論とフラッグ多様体およびシューベルト多様体の位相を結びつけること。
• Demazure-Lusztig作用素とBott-Samelson分解に由来する補正項を用いた、Whittaker関数を再帰的に計算するアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 著者らは、ブルハット順序を用いて標準的基底ベクトル $\Phi_w^\tau$ の和として、ワイル群 $W$ で添え字づけられたIwahori固定ベクトルの基底 $\tilde{\Phi}_w^\tau$ を定義する。
• Demazure-Lusztig作用素を用いて基底ベクトル $\tilde{\Phi}_w^\tau$ を関連付け、その作用がアフィンヘッケ代数のブレッド関係および2次関係を満たすことを示す。
• Whittaker関数 $\mathcal{W}_\tau(\tilde{\Phi}_w^\tau)$ は、$\mathbb{C}[v,v^{-1}] \otimes \mathcal{O}(\hat{T})$ 上でのアフィンヘッケ代数の作用を通じて計算され、ここで $\hat{T}$ はラングランス双対群の最大トーラスである。
• Demazure作用素の作用における補正項が、シューベルト多様体のBott-Samelson分解の纤维に対応することを示す。
• 特殊化 $q^{-1} \to 0$ により、Whittaker関数がDemazure特徴に変換され、p-進表現論とシューベルトコホモロジーの間の関係が得られる。
• 著者らはヘッケ代数におけるKazhdan-Lusztig基底 $C_w'$ を用いて $\boldsymbol{C}_w(\lambda) = v^{l(w)/2} C_w' \cdot \boldsymbol{z}^\lambda$ を定義し、$\boldsymbol{X}_w(\lambda)$ と関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p-進群の文脈において、Iwahori固定WhittakerベクトルはどのようにDemazure作用素と関係しているか？
• RQ2 アフィンヘッケ代数は、p-進群の表現論とシューベルト多様体をどのように結びつけるか？
• RQ3 すべてのワイル群要素に対して、トーラス要素におけるWhittaker関数の均一な公式を与えることができるか？
• RQ4 Demazure作用素の作用における補正項の幾何的意味は何か？
• RQ5 Whittaker関数がKazhdan-Lusztig基底と一致するのはいつか？そしてこれはシューベルト多様体に何を意味するか？

主な発見

• 特殊化 $q^{-1} \to 0$ の下で、Whittaker関数 $\mathcal{W}_\tau(\tilde{\Phi}_w^\tau)(a_\lambda)$ は、定理18で述べられるようにDemazure特徴に変換される。
• Demazure-Lusztig作用素は、Iwahori固定Whittakerベクトルに作用するが、その補正項はシューベルト多様体のBott-Samelson分解の纤维に一致する。
• アフィンヘッケ代数の $\mathbb{C}[v,v^{-1}] \otimes \mathcal{O}(\hat{T})$ 上の作用は、写像 $\xi_\lambda$ を通じて実現され、これらは $\mathcal{H}_v$-加群準同型である。
• ベクトル $\boldsymbol{z}^{-\rho}$ は、1次元の $\mathcal{H}_v$-不変部分空間を張り、符号表現を実現する。また、全モジュール $\mathbb{C}[v,v^{-1}] \otimes \mathcal{O}(\hat{T})$ は、この符号表現からの誘導表現に同型である。
• シューベルト多様体 $X_w$ が有理的滑らかであるときかつそのときに限り、要素 $\boldsymbol{X}_w(\lambda)$ と $\boldsymbol{C}_w(\lambda)$ が一致する。これは命題30で示されている。
• Whittaker関数の再帰的構造はブルハット順序に従い、$T_i$ が $\boldsymbol{z}^{-\rho}$ に作用するとき $-\boldsymbol{z}^{-\rho}$ を得る。これは符号表現を確認する。