[論文レビュー] Whittaker functions associated to newforms for GL(n) over p-adic fields

Michitaka Miyauchi|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$p$-進体 $F$ 上の $ {GL}_n(F)$ の非自明な一般的表現の新形式に対応するWhittaker関数の明示的公式を提示する。この公式は、Hecke固有値と表現の $L$-因子を用いて表される。主な結果は、このようなWhittaker関数を $ {GL}_1(F)$ 上で積分することで、表現の標準的 $L$-関数が得られることを示しており、Shintaniの非分岐の場合の公式を、Hecke代数作用と対称関数を用いて新形式設定に拡張したものである。

ABSTRACT

Let F be a non-archimedean local field of characteristic zero. Jacquet, Piatetski-Shapiro and Shalika introduced the notion of newforms for irreducible generic representations of GL_n(F). In this paper, we give an explicit formula for Whittaker functions associated to newforms on the diagonal matrices in GL_n(F).

研究の動機と目的

• $p$-進体 $F$ 上の $ {GL}_n(F)$ の新形式に対して、Shintaniの球的Whittaker関数の明示的公式を拡張すること。
• 対角行列における新形式に関連するWhittaker関数を、Hecke固有値と表現の $L$-因子を用いて表現すること。
• 新形式Whittaker関数を用いたゼータ積分表現として $L$-関数を確立すること。
• Rankin-Selberg型ゼータ積分を計算するのに十分な、$BK_{c(\pi)}$ 上での新形式Whittaker関数の構成的公式を提供すること。

提案手法

• 新形式の一次元空間に作用するコンパクト開部分群 $K_{c(\pi)}$ に関連するHecke代数を用い、Hecke固有値 $\lambda_1, \dots, \lambda_{n-1}$ を通じたスカラー乗法として作用を定義する。
• 関数方程式を差分方程式系に変換するため、正規化されたWhittaker関数 $\widetilde{w}(f) = q^{\sum (n-1-j)f_j} W(\varpi^f)$ を定義する。
• 変数 $\mu_i$ における初等対称多項式を用いて、差分方程式系を解く。ここで $\mu_i = q^{(n-1)/2 - 1} \alpha_i$ であり、$\alpha_i$ はLanglandsパラメータに対応する。
• 対角行列 $\varpi^f = \r{diag}(\varpi^{f_1}, \dots, \varpi^{f_{n-1}}, 1)$ におけるWhittaker関数を、$f_1 \geq \dots \geq f_{n-1} \geq 0$ のとき $W(\varpi^f) = \delta_B^{1/2}(\varpi^f) s_f(\alpha) W(1)$ と表し、それ以外の場合は 0 とする。
• KirillovモデルとIwasawa分解を用いて、ある $\varpi^f$ において非ゼロであることを保証し、非ゼロ新形式に対して $W(1) \neq 0$ を示す。
• Whittaker関数を $ {GL}_1(F) \subset \r{GL}_n(F)$ 上で積分し、$Z(s,W) = \int_{F^\times} W(t(a)) |a|^{s - (n-1)/2} d^\times a$ と定義する。$W(1) = 1$ のとき、この積分が $L(s,\pi)$ に等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Shintaniの球的Whittaker関数の明示的公式は、$p$-進体 $F$ 上の $ {GL}_n(F)$ の新形式にどのように一般化できるか？
• RQ2 新形式に関連するWhittaker関数が $ {GL}_n(F)$ の対角行列上でどのように明示的に表されるか？
• RQ3 新形式のHecke代数のHecke固有値は、表現の $L$-因子とどのように関係するか？
• RQ4 非自明な一般的表現 $\pi$ の $L$-因子は、その新形式Whittaker関数のゼータ積分から回復可能か？
• RQ5 Whittaker関数の $BK_{c(\pi)}$ 上での公式は、Rankin-Selberg理論におけるゼータ積分の計算にどの程度十分か？

主な発見

• 新形式に対応するWhittaker関数 $W$ は、$f_1 \geq \dots \geq f_{n-1} \geq 0$ のとき $W(\varpi^f) = \delta_B^{1/2}(\varpi^f) s_f(\alpha) W(1)$ を満たし、それ以外の場合は 0 である。ここで $s_f(\alpha)$ はLanglandsパラメータ $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ における完全な同次対称多項式である。
• Hecke固有値 $\lambda_i$ は、$L(s,\pi) = \left( \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^i \lambda_i q^{i(i-1)/2 - i((n-1)/2 + s)} \right)^{-1}$ を通じて $L$-因子と関係し、パラメータ $\mu_i = q^{(n-1)/2 - 1} \alpha_i$ は $\widetilde{w}(f)$ の差分方程式の解である。
• ゼータ積分 $Z(s,W) = \int_{F^\times} W(t(a)) |a|^{s - (n-1)/2} d^\times a$ は、$W$ が $W(1) = 1$ を満たす新形式のとき、標準的 $L$-関数 $L(s,\pi)$ に等しい。
• この公式により、$BK_{c(\pi)}$ 上でのWhittaker関数が決定され、すべてのデータが新形式の場合に、ゼータ積分の計算に十分であることが保証される。
• 新形式の空間は一次元であり、非ゼロ新形式に対しては $W(1) \neq 0$ であるため、正規化が可能である。
• 本結果は、$c(\pi) > 0$ である場合の非自明な場合に、Hecke代数の手法を用いてShintaniの非分岐表現に対する公式を一般化したものである。