[論文レビュー] Whittaker functions on orthogonal groups of odd degree

Taku Ishii|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、奇数階直交群 $SO_{2n+1}(\bbR)$ 上のクラス1 Whittaker 関数について、明示的な再帰的公式を提供する。これは、$SL_n(\bbR)$ における Stade の研究を一般化したものである。Mellin-Barnes 積分表現と基本 Whittaker 関数による再帰的分解を用いて、$SO_{2n+1}(\bbR)$ 上の Whittaker 関数の Mellin 変換と $SO_{2n-1}(\bbR)$ 上のそれらの Mellin 変換を関連付ける多重積分変換公式を導出する。この公式は、自己形式におけるアーキメデス的 $L$-因子の計算に強力な道具を提供する。

ABSTRACT

We give explicit formulas for Whittaker functions for the class one principal series representations of the orthogonal groups $ SO_{2n+1}(\R) $ of odd degree. Our formulas are similar to the recursive formulas for Whittaker functions on $SL_n(\R)$ given by Stade and the author \cite{ISt}. Some parts of our results are announced in \cite{I3}.

研究の動機と目的

• $SO_{2n+1}(\bbR)$ 上のクラス1 Whittaker 関数の明示的公式を導出すること。これは、既知の $SL_n(\bbR)$ に対する結果を拡張するものである。
• $SO_{2n+1}(\bbR)$ と $SO_{2n-1}(\bbR)$ 上の Whittaker 関数を結ぶ再帰的構造を提供すること。これは、$SL_n(\bbR)$ における Stade の再帰的公式に類似している。
• クラス1 Whittaker 関数の多重 Mellin 変換の Mellin-Barnes 型積分表現を確立すること。これにより、解析的数論への応用が可能になる。
• Jacquet の積分表現の限界を克服するため、それをより計算に適した再帰的形に変換すること。

提案手法

• $n$ に関する帰納法を用いて、$SO_{2n+1}(\bbR)$ 上の Whittaker 関数の Mellin-Barnes 変換 $T_\nu^n(s)$ の再帰的公式を導出する。
• Mellin の逆変換公式と、修正 Bessel 関数 $K_{2\nu_n}(z)$ の既知の積分表現を用いて、Whittaker 関数を低ランク成分に分解する。
• $u_i$-パラメータを含む変数変換を導入し、$n$ 次元積分を $u_i$ と $y_i$ に関するネスト型積分に分離する。
• 恒等式 $\int_0^\infty (1+u)^{-(x+y)} u^y \frac{du}{u} = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ を用いて $u_i$-積分を評価し、ガンマ関数の比を得る。
• クラス1 Whittaker 関数の Hashizume の展開公式と、基本 Whittaker 関数の再帰的構造に依拠し、$T_\nu^n(s)$ を $T_{\tilde{\nu}}^{n-1}(-t_1,\dots,-t_{n-1})$ に結びつける。
• 複素パラメータ $s_j$ と $t_j$ の収束条件を、実部 $\tau_j$ を用いて定義し、多重閉曲線積分の正則性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Stade が $SL_n(\bbR)$ に対して示した再帰的構造を模倣する形で、$SO_{2n+1}(\bbR)$ 上の Whittaker 関数に対する再帰的公式を構築することは可能か？
• RQ2 Whittaker 関数の Jacquet 積分表現を、より良い解析的制御が可能な Mellin-Barnes 型積分に変換する方法は何か？
• RQ3 クラス1 Whittaker 関数の多重 Mellin 変換 $T_\nu^n(s)$ の正確な形は何か？また、それらは低ランク変換とどのように関係するか？
• RQ4 再帰的積分公式の有効性を保証するための、複素パラメータ $s_j$ と $t_j$ の収束条件は何か？

主な発見

• 本稿は、$n \geq 2$ に対して有効である、クラス1 Whittaker 関数の多重 Mellin 変換 $T_\nu^n(s)$ に対する再帰的 Mellin-Barnes 積分公式を確立した。
• 再帰的公式は、$T_\nu^n(s)$ を $n-1$ 個の複素変数 $t_i$ に関する多重閉曲線積分として表現し、ガンマ関数の積と低ランク変換 $T_{\tilde{\nu}}^{n-1}(-t_1,\dots,-t_{n-1})$ を含む。
• 収束領域 $\Omega$ は、$\tau_j$ と $\eta_j$ に関する条件によって定義され、$s_j$ の実部が $\nu_n$ と $\tau_{j-1}$ に依存するある下限を超えることを保証する。
• $n=1$ の場合、公式は $T_\nu^1(s) = 2^{-1}\Gamma(s_1 + \nu_1)\Gamma(s_1 - \nu_1)$ に簡約され、既知の $K$-Bessel 関数の Mellin 変換と整合的である。
• 導出は、Whittaker 関数の Mellin の逆変換と $K_{2\nu_n}(z)$ の積分表現に依拠しており、$u_i$-統合による再帰的分解を可能にする。
• Jacquet 積分の直接評価を避けるために、Mellin-Barnes 形式とのヒューリスティックな類似性を用い、洗練された再帰的構造を導いた。