[論文レビュー] Who Invented the Gromov-Hausdorff Distance?

Alexey Avgustinovich Tuzhilin|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、1975年、マイケル・グロモフより6年前に、デイヴィッド・エドワーズがグロモフ–ハウスドルフ距離を初めて定義したことを立証している。エドワーズは有界な数列空間への等距埋め込みを通じて距離を定義し、その距離の性質を証明したが、彼の基盤的貢献は文脈において体系的に無視されてきた。

ABSTRACT

One of the most beautiful notions of metric geometry is the Gromov-Hausdorff distance which measures the difference between two metric spaces. To define the distance, let us isometrically embed these spaces into various metric spaces and measure the Hausdorff distance between their images. The best matching corresponds to the least Hausdorff distance. The idea to compare metric spaces in such a way was described in M.Gromov publications dating back to 1981. It was shown that this distance being restricted to isometry classes of compact metric spaces forms a metric which is now called Gromov-Hausdorff metric. However, whether M.Gromov was the first who introduced this metric? It turns out that 6 years before these Gromov's works, in 1975, another mathematician, namely, David Edwards published a paper in which he defined this metric in another way. Also, Edwards found and proved the basic properties of the distance. It seems unfair that almost no one mentions this Edwards's paper including well-known specialists in metric geometry. The main goal of the present publication is to fill this gap.

研究の動機と目的

• グロモフ–ハウスドルフ距離の歴史的帰属を解消し、M. グロモフがこの概念を考案したという一般的な信念に挑戦すること。
• デイヴィッド・エドワーズが1975年の論文「Superspaceの構造」において、グロモフの業績より6年前に距離を定義したことを示すこと。
• エドワーズが距離を定義しただけでなく、その距離の度量的性質および基礎的な位相的特性を証明したことを強調すること。
• 主要な参考文献や教科書においてエドワーズの業績が広く無視されていることの是正。
• エドワーズの論文が度量幾何学の基盤的業績として認識されることを提唱し、その歴史的追いやれを是正すること。

提案手法

• 共通の度量空間への等距埋め込みを通じたグロモフ–ハウスドルフ距離の形式的定義と、そのような像のハウスドルフ距離の下界を取ること。
• グロモフの1981年の定式化とエドワーズの1975年の定義を、互いに不変な度量を備えた直積集合への応用と歪みを伴う対応関係を用いて比較。
• ℓ∞への埋め込みにおけるハウスドルフ距離と、対応に基づく歪みの公式の等価性を適用し、エドワーズの距離が標準的なグロモフ–ハウスドルフ距離と一致することを示す。
• エドワーズがコンパクトな度量空間の同型類の空間上で距離が度量であることを証明し、完備性、分離可能性、局所コンパクト性の欠如といった重要な位相的性質を確立したことをレビュー。
• グロモフとエドワーズの両者の定式化に基づくグロモフ–ハウスドルフ空間の位相的および幾何的性質を比較し、完全な等価性を示す。
• エドワーズの論文が学術的文献、特にウィキペディアやF. ラトレモリエの研究においてどのように引用されているかを記録し、歴史的無視にもかかわらずその認識と影響を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グロモフ–ハウスドルフ距離を初めて定義したのは誰で、いつ正式に導入されたのか？
• RQ2 グロモフの1981年の定式化とエドワーズの1975年の距離定義の主な違いと類似点は何か？
• RQ3 エドワーズの1975年の論文がその基盤的性質にもかかわらず、文脈において体系的に無視されてきたのはなぜか？
• RQ4 エドワーズの定式化に基づくグロモフ–ハウスドルフ空間の位相的および幾何的性質は、標準的なものとどの程度一致するか？
• RQ5 学術的文献にエドワーズの業績が認められている証拠は何か？ そして、その重要性にもかかわらずなぜその論文は低く引用されているのか？

主な発見

• デイヴィッド・エドワーズは1975年、論文「Superspaceの構造」においてグロモフ–ハウスドルフ距離を初めて定義し、グロモフの業績より6年前であった。
• エドワーズの定義は、ℓ∞への等距埋め込みとそのハウスドルフ距離の下界に基づくが、数学的に標準的なグロモフ–ハウスドルフ距離と同等である。
• エドワーズは、コンパクトな度量空間の同型類の空間上で距離が度量であることを証明し、完備性、分離可能性、局所コンパクト性の欠如といった重要な位相的性質を確立した。
• エドワーズの距離に基づくコンパクトな度量空間の空間は、可縮的で、測地的であり、非コンパクトであり、有限な度量空間がその中に稠密に存在する。これはグロモフ–ハウスドルフ空間の性質と同一である。
• その基盤的役割にもかかわらず、エドワーズの論文は、グロモフ、ブルーガ、その他の主要な度量幾何学の文献においてほとんど引用されていない。
• 本論文は、エドワーズの業績が、F. ラトレモリエの著作や英語版ウィキペディアの訂正前の版にのみ認められていることを記録し、その歴史的無視の深刻さを強調している。