[論文レビュー] Who witnesses The Witness? Finding witnesses in The Witness is hard and sometimes impossible

Zachary Abel, Jeffrey Bosboom+6 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Advanced Image and Video Retrieval Techniques被引用数 5

ひとこと要約

この論文は『The Witness』ゲーム内の鉛筆と紙のパズルの計算量的複雑性を分析し、ヘキサゴン、三角形、正方形、星型、ポリオミノ、アンチポリオミノなど、大多数のパズルタイプがNP完全であることを示している。これは、有効な解（Witness）が存在するが、それを効率的に見つけるのは難しいことを意味する。抗体（他のクエスチョンをキャンセルする）の導入により、問題はΣ₂完全にまで上昇し、解の存在自体が保証されない場合があり、その場合、解の存在が決定不能であることを示している。

ABSTRACT

We analyze the computational complexity of the many types of pencil-and-paper-style puzzles featured in the 2016 puzzle video game The Witness. In all puzzles, the goal is to draw a path in a rectangular grid graph from a start vertex to a destination vertex. The different puzzle types place different constraints on the path: preventing some edges from being visited (broken edges); forcing some edges or vertices to be visited (hexagons); forcing some cells to have certain numbers of incident path edges (triangles); or forcing the regions formed by the path to be partially monochromatic (squares), have exactly two special cells (stars), or be singly covered by given shapes (polyominoes) and/or negatively counting shapes (antipolyominoes). We show that any one of these clue types (except the first) is enough to make path finding NP-complete ("witnesses exist but are hard to find"), even for rectangular boards. Furthermore, we show that a final clue type (antibody), which necessarily "cancels" the effect of another clue in the same region, makes path finding Sigma_2-complete ("witnesses do not exist"), even with a single antibody (combined with many anti/polyominoes), and the problem gets no harder with many antibodies.

研究の動機と目的

• 『The Witness』内のすべての単一パネルパズルタイプの計算量的複雑性を体系的に分析すること。
• 各パズルタイプについて、有効な解パス（Witness）が存在するか、そしてそれが効率的に見つけ出せるかを特定すること。
• 特に抗体を含む新しいクエスチョンタイプが、解の存在と複雑性に与える影響を調査すること。
• モノミノクエスチョンや境界ヘキサゴンなど、多項式時間アルゴリズムが存在するケースを同定すること。
• パスと領域分割を表現する能力に基づいて、パズルタイプを分類すること。

提案手法

• 主に還元に基づく証明を用いて、ヘキサゴン、三角形、正方形、星型、ポリオミノなど、大多数のパズルタイプがNP完全であることを確立する。
• Exact Cover や 3-Partition といった既知のNP完全問題をシミュレートするパズルインスタンスの構築。
• 平面グラフ埋め込みと境界端子制約を用いて、部分集合ハミルトンパス問題を多項式時間に還元する。
• 他のクエスチョンの効果をキャンセルする『抗体』クエスチョンの導入。これにより、存在記号と全称記号の交互に起因するΣ₂完全性が得られる。
• モノミノおよびアンチモノミノパズルを境界ヘキサゴン問題に還元し、多項式時間での解法を可能にする。
• 互いに分離したコンポーネントと接続制約を備えたコンポーネントパズルを用いて、特定のパスと領域分割を強制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点ヘキサゴンのみを含むパズルのパス探索問題は多項式時間で解けるか？
• RQ2 星型の色が定数個しか使われない場合、問題はNP困難であるか？
• RQ3 『The Witness』におけるライトブリッジメタパズルの複雑性は何か？
• RQ4 特定の解構造を持つパズルを構築するパズル設計問題は、効率的に解けるか？
• RQ5 ポリオミノクエスチョンは1領域ユニバーサルであるか？すなわち、任意の所望の領域分割を表現可能か？

主な発見

• 破損エッジ（これは自明）を除く、すべてのパズルタイプは、長方形グリッド上でもNP完全である。
• 抗体の存在により、問題はΣ₂完全にまで上昇し、解の存在が保証されない場合があり、NPよりも計算的に難しいことを示している。
• モノミノクエスチョンは、境界ヘキサゴン問題に還元することで多項式時間で解ける。
• ポリオミノおよびアンチポリオミノクエスチョンは、モノミノやドミノに制限してもNP完全である。
• 1つの抗体が存在する場合でも、問題の複雑性はΣ₂完全のままであり、抗体を追加しても複雑性は向上しない。
• パズル設計問題の複雑性は未解決のままだが、困難であると予想されている。