[論文レビュー] Why are quadratic normal volatility models analytically tractable?

Peter Carr, Travis C. Fisher+1 more|RePEc: Research Papers in Economics|Feb 28, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、QNV（2次正規ボラティリティ）モデルが解析的に取り扱いやすい理由を説明している。それは、停止したブラウン運動の変換と、プロセスの終値にのみ依存する測度変更によってQNVモデルが導かれるという点に起因する。主な洞察は、この構造的関係が、厳密な局所マルティンゲールのダイナミクス下でも、オプション価格に対して明示的な解析的公式を可能にしていることである。

ABSTRACT

We discuss the class of "Quadratic Normal Volatility" models, which have drawn much attention in the financial industry due to their analytic tractability and flexibility. We characterize these models as the ones that can be obtained from stopped Brownian motion by a simple transformation and a change of measure that only depends on the terminal value of the stopped Brownian motion. This explains the existence of explicit analytic formulas for option prices within Quadratic Normal Volatility models in the academic literature.

研究の動機と目的

• 2次正規ボラティリティ（QNV）モデルにおける解析的取り扱いやすさの数学的起源を解明すること。
• QNVモデルが、終値に基づく測度変更の下で停止ブラウン運動の変換として特徴付けられることを明らかにすること。
• QNVプロセスと幾何ブラウン運動との間の関係を、代替的な変換を通じて確立すること。
• 為替および多資産デリバティブに適した、通貨基準の変更に対するQNVモデルの安定性を形式化すること。
• 支配的測度下でのハイパーフレーショナリゼーション機構として、QNVモデルにおける厳密な局所マルティンゲールダイナミクスを解釈し、価格パラドックスを解消すること。

提案手法

• QNVプロセスを、時間変換および測度変更を施した停止ブラウン運動として導出し、測度変更が停止プロセスの終値にのみ依存することを示す。
• フェラーの爆発テストを用いて、QNVプロセスが真のマルティンゲールか、あるいは厳密な局所マルティンゲールかの条件を特定する。
• QNVプロセスの部分集合を幾何ブラウン運動に結びつける変換を適用し、レプリケーションおよび通貨基準変更の分析を可能にする。
• パス依存的クレームの最小結合レプリケーションコストを、変換された測度下での期待値を用いた記号的表現で導入する。
• 特定の条件下で時間積分のパス依存性が保たれることを示す技術的補題を用い、価格公式の一貫性を保証する。
• QNVプロセスが厳密な局所マルティンゲールである場合に、半静的ヘッジおよび修正された価格ルールを用いて、プット・コール・パリティの破綻を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形ボラティリティ構造を有するにもかかわらず、なぜ2次正規ボラティリティ（QNV）モデルが解析的に取り扱いやすいのか？
• RQ2 QNVプロセスは、変換と測度変更を用いてブラウン運動から体系的にどのように導出可能か？
• RQ3 QNVプロセスが真のマルティンゲールか、あるいは厳密な局所マルティンゲールとして振る舞う条件は何か？
• RQ4 QNVモデルと幾何ブラウン運動との関係は、為替や多資産設定における通貨基準変更をどのように容易にするか？
• RQ5 特にハイパーフレーショナリゼーションや最小ヘッジコストの観点から、QNVモデルにおける厳密な局所マルティンゲールダイナミクスの経済的解釈は何か？

主な発見

• QNVモデルは、停止ブラウン運動に対する決定的変換と、プロセスの終値にのみ依存する測度変更を経て構築可能であるため、解析的に取り扱いやすい。
• QNVプロセスのマルティンゲール性は、ボラティリティ関数内の2次多項式の根に依存する：多項式が2つの実数解を持つ、または先頭係数がゼロである場合、真のマルティンゲールである。
• QNVプロセスの一部のクラスは、変換によって幾何ブラウン運動に写像可能であり、これにより為替および金利モデルにおける標準的な通貨基準変更手法を適用可能にする。
• 1通貨で清算されるクレームの最小結合レプリケーションコストは、時間変換および測度変更を施したブラウン運動の期待値を含む式として与えられ、そのコストに対する明示的公式が導出されている。
• QNVプロセスが厳密な局所マルティンゲールである場合、プット・コール・パリティの破綻などの価格パラドックスは、期待値の和に基づく修正価格を用いることで解消され、これは最小ヘッジコストとして解釈可能である。
• 記号的価格公式（19）は、1ユーロをドルで清算するクレームに対して一貫して正しい最小コストを導き出し、修正された価格ルールがアービトラージフリーかつ経済的に意味を持つことを確認している。