[論文レビュー] Why Are the ARIMA and SARIMA not Sufficient

Shixiong Wang, Chongshou Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2019

Neural Networks and Applications参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、差分演算子によるスペクトル歪みのため、ARIMAおよびSARIMAモデルが非定常時系列に対して理論的に不十分であると主張している。本稿は、スペクトル解析およびデジタルフィルタリングを用いて、意味のある周波数を保持しつつ、広義定常性を達成する一般化されたARMA-SINを提案する。S-ARIMAに比べ、スペクトル忠実度および予測精度で優れている。

ABSTRACT

The autoregressive moving average (ARMA) model takes the significant position in time series analysis for a wide-sense stationary time series. The difference operator and seasonal difference operator, which are bases of ARIMA and SARIMA (Seasonal ARIMA), respectively, were introduced to remove the trend and seasonal component so that the original non-stationary time series could be transformed into a wide-sense stationary one, which could then be handled by Box-Jenkins methodology. However, such difference operators are more practical experiences than exact theories by now. In this paper, we investigate the power of the (resp. seasonal) difference operator from the perspective of spectral analysis, linear system theory and digital filtering, and point out the characteristics and limitations of (resp. seasonal) difference operator. Besides, the general method that transforms a non-stationary (the non-stationarity in the mean sense) stochastic process to be wide-sense stationary will be presented.

研究の動機と目的

• ARIMAおよびSARIMAモデルが非定常時系列を広義定常プロセスに変換する際の理論的限界を特定すること。
• 線形システム理論およびデジタルフィルタリング原理を用いて、差分および季節差分演算子のスペクトル的影響を分析すること。
• 意味のある周波数成分を歪めずに、非定常確率過程を広義定常プロセスに変換する一般化された手法を開発すること。
• スペクトル的整合性を維持するARMA-SINを、S-ARIMAの一般化された理論的根拠に基づく代替手法として提案すること。
• スペクトル解析およびフィルタリングを通じて、ARMA-SINがS-ARIMAに比べて、内在的ダイナミクスの保持および推定において優れていることを実証すること。

提案手法

• 非定常時系列を広義定常プロセスに変換するプロセスを、スペクトル解析およびデジタルフィルタリングを用いてモデル化する。
• 周波数領域における差分演算子の挙動を分析するために、線形システム理論を適用する。
• 離散フーリエ変換（DFT）および逆DFTに基づくカスタムデジタルフィルタを設計し、特定のスペクトル成分を分離・保持する。
• 2段階のフィルタリングアプローチを採用する：まず低周波成分を除去してトレンドを除去し、次にフィルタリングされた信号に対するARMAモデリングにより定常残差を推定する。
• 高速フーリエ変換（FFT）を用いて主要周波数を同定し、振幅および位相推定により正弦波成分を抽出する。
• フィルタリングされた信号上のARMAモデルと推定されたスペクトル成分を組み合わせることで、ARMA-SINモデルを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ARIMAおよびSARIMAにおける差分および季節差分演算子は、広く使用されているにもかかわらず、なぜスペクトル歪みを引き起こすのか？
• RQ2 非定常時系列において、差分演算子を用いて広義定常性を達成する際の理論的限界は何か？
• RQ3 意味のある周波数成分を歪めずに、非定常確率過程を広義定常プロセスに変換する一般化された変換手法はどのように設計できるか？
• RQ4 ARMA-SINは、S-ARIMAに比べて、スペクトル特性をどのようにより良く保持し、予測精度を向上させているか？
• RQ5 デジタルフィルタリングは、時系列の定常性に向けたより正確で理論的根拠に基づいた手法を実現するために、どのように機能するか？

主な発見

• ARIMAおよびSARIMAにおける差分および季節差分演算子は、特に $ w = 2k\pi/12 $ 付近の重要な周波数でスペクトル成分を歪め、意味のある信号情報の損失を引き起こす。
• SARIMAの12ラグ季節差分演算子は、季節成分を効果的に除去するが、$ w = 2\pi/12 $ で顕著なスペクトル歪みを引き起こす。
• ARMA-SINは、元の時系列のスペクトル成分を保持しており、DFT解析により確認された、$ w = 0.2001 $ におけるインパルス（振幅 $ A = 0.9721 $、位相 $ \varphi = -1.5440 $）を正確に再現している。
• 図7に示すように、ARMA-SINはSARIMAに比べてより優れたスペクトル推定を達成しており、信号スペクトルの整合性を維持している。
• ARMA-SINは、一般的な差分ではなく、標的となるデジタルフィルタリングを用いることで、スペクトル漏れや歪みを回避するため、理論的にS-ARIMAを上回っている。
• 本手法は、スペクトル内容に基づく選択的フィルタリングを可能にするため、S-ARIMAを一般化し、非定常プロセスのより正確なモデリングを可能にしている。