[論文レビュー] Why do all the curvature invariants of a gravitational wave vanish ?

Hans‐Jürgen Schmidt|ArXiv.org|Apr 19, 1994

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論における平面波計量の各時空点に非等長的同位相似運動が存在することに起因して、すべての曲率不変量が消えることを証明する。主な結果は、リーマン幾何学とは異なり、ローレンツ型の符号では非コンパクトなローレンツ群が曲率不変量による平坦性の特徴づけを不可能にすることを示しており、ゲロシュ極限の非ハウスドルフ性を用いた別証明も提示する。

ABSTRACT

We prove the theorem valid for (Pseudo)-Riemannian manifolds $V_n$: "Let $x \in V_n$ be a fixed point of a homothetic motion which is not an isometry then all curvature invariants vanish at $x$." and get the Corollary: "All curvature invariants of the plane wave metric $$ds \sp 2 \quad = \quad 2 \, du \, dv \, + \, a\sp 2 (u) \, dw \sp 2 \, + \, b\sp 2 (u) \, dz \sp 2 $$ identically vanish." Analysing the proof we see: The fact that for definite signature flatness can be characterized by the vanishing of a curvature invariant, essentially rests on the compactness of the rotation group $SO(n)$. For Lorentz signature, however, one has the non-compact Lorentz group $SO(3,1)$ instead of it. A further and independent proof of the corollary uses the fact, that the Geroch limit does not lead to a Hausdorff topology, so a sequence of gravitational waves can converge to the flat space-time, even if each element of the sequence is the same pp-wave.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における平面波時空の曲率不変量がなぜ消えるかを説明すること。
• 非等長的同位相似運動と擬リーマン多様体における曲率不変量の消えることの一般定理を確立すること。
• 曲率不変量による平坦性の特徴づけにおいて、リーマン型とローレンツ型の符号の違いを明確にすること。
• ゲロシュ極限のハウスドルフでない性質を用いた別証明を提供すること。
• 非平坦な重力波にもかかわらず、曲率不変量が恒等的に消えるという見かけのパラドックスを解消すること。

提案手法

• 一般定理の証明：擬リーマン多様体の点が非等長的同位相似運動をもつならば、その点におけるすべての曲率不変量が消えることを示す。
• 定理を平面波計量 $ ds^2 = 2\,du\,dv + a^2(u)\,dw^2 + b^2(u)\,dz^2 $ に適用し、条件を満たすことを示す。
• リーマン幾何学における $ SO(n) $ のコンパクト性と、ローレンツ型符号における $ SO(3,1) $ の非コンパクト性を対比させ、なぜ曲率不変量が後者では曲率を検出できないかを説明する。
• ゲロシュ極限を用いた第二の証明：同一のpp波の列がこの極限下で平坦時空に収束するが、その極限はハウスドルフでないため、曲率不変量が元の計量と区別できないことを示す。
• ゲロシュ極限の非ハウスドルフ構造が曲率不変量に与える幾何学的・位相的影響を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な重力場を持つにもかかわらず、平面波時空のすべての曲率不変量がなぜ消えるのか？
• RQ2 非等長的同位相似運動の存在が、曲率不変量の消えることに果たす役割は何か？
• RQ3 ローレンツ群 $ SO(3,1) $ の非コンパクト性が、ローレンツ型時空における曲率不変量による平坦性の特徴づけを妨げる理由は何か？
• RQ4 なぜゲロシュ極限はハウスドルフ位相を生成しないのか？そしてそれは曲率不変量の消えることにどのように関係するか？
• RQ5 リーマン幾何学における $ SO(n) $ のコンパクト性と、ローレンツ型における $ SO(3,1) $ の非コンパクト性が、曲率不変量による平坦性の特徴づけにおいてどのように対比されるか？

主な発見

• 非等長的同位相似運動が各点に存在することにより、平面波計量 $ ds^2 = 2\,du\,dv + a^2(u)\,dw^2 + b^2(u)\,dz^2 $ において、すべての曲率不変量が恒等的に消えることが証明された。
• 一般定理は、擬リーマン多様体の点が非等長的同位相似運動をもつならば、その点におけるすべての曲率不変量が消えると述べる。
• ローレンツ型符号における曲率不変量の消えることは、本質的にローレンツ群 $ SO(3,1) $ の非コンパクト性に起因するが、リーマン幾何学では $ SO(n) $ がコンパクトであるため、この点で根本的に異なる。
• 同一のpp波の列のゲロシュ極限は平坦時空に収束するが、その極限はハウスドルフでないため、曲率不変量が消えることの独立した説明が得られる。
• ゲロシュ極限がハウスドルフ位相を生成しないことから、曲率不変量がこのような極限において曲率を検出できないことが示され、結果が強化される。