[論文レビュー] Why Jordan algebras are natural in statistics:quadratic regression implies Wishart distributions

Gérard Letac, Jacek Wesołowski|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2010

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限次元実ベクトル空間上の2次回帰構造が、2次形式の空間が特定の条件付き期待値性質を満たす直交部分空間に分解される場合、一意的にWishart分布を意味することを確立している。主な結果は、このような構造が、空間がユークリッドジョルダン代数構造を備える場合にのみ成立することを示しており、確率変数は関連する対称錐上にWishart分布に従う必要がある。k=2が唯一可能な分解である。

ABSTRACT

If the space $\\mathcal{Q}$ of quadratic forms in $\\mathbb{R}^n$ is splitted in a direct sum $\\mathcal{Q}_1\\oplus...\\oplus \\mathcal{Q}_k$ and if $X$ and $Y$ are independent random variables of $\\mathbb{R}^n$, assume that there exist a real number $a$ such that $E(X|X+Y)=a(X+Y)$ and real distinct numbers $b_1,...,b_k$ such that $E(q(X)|X+Y)=b_iq(X+Y)$ for any $q$ in $\\mathcal{Q}_i.$ We prove that this happens only when $k=2$, when $\\mathbb{R}^n$ can be structured in a Euclidean Jordan algebra and when $X$ and $Y$ have Wishart distributions corresponding to this structure.

研究の動機と目的

• 実ベクトル空間上の2次回帰がいつWishart分布を意味するかを特定すること。
• X+Y に関する2次形式の条件付き期待値が X+Y の2次形式に比例するような条件を調査すること。
• このような構造が、空間がユークリッドジョルダン代数であり、2次形式の分解が正確に2つの成分を持つ場合にのみ成立することを証明すること。
• 対称錐とWishart分布の文脈におけるLukacs-Olkin-Rubin定理の逆を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、2次形式の部分空間 Q_i に属する q に対して、E(q(X)|X+Y) = b_i q(X+Y) という条件付き期待値構造を分析する。
• 2次形式の空間 Q を直和 Q_1 ⊕ ... ⊕ Q_k に分解し、条件付き期待値に線形制約を課す。
• 指数モーメントの性質と直交変換に対する不変性を用いて、X と Y の特性関数への関数方程式を導出する。
• ジョルダン代数理論の結果、特に対称錐の構造とスペクトル分解を応用し、このような分解を許容する可能性のある空間 V を分類する。
• k の唯一の可能な値は 2 であり、条件を満たすためには V がユークリッドジョルダン代数構造を備えている必要があることを証明する。
• 証明は、対称自己準同型の空間上の自己準同型のトレース計算に依拠しており、正規直交基底と関連する作用素のスペクトル性質を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次形式の分解がどのような条件下で、すべての q ∈ Q_i に対して E(q(X)|X+Y) = b_i q(X+Y) が成り立つか。
• RQ2 一般の実ベクトル空間 Q におけるこのような条件付き期待値構造が、X と Y がWishart分布に従うことを示唆するか。
• RQ3 このような構造が存在するための、Q の分解における成分数 k の唯一の可能な値は k=2 か。
• RQ4 このような分解と条件付き期待値性質が存在するための、基本空間 V に必要な代数的構造は何か。
• RQ5 対称錐上のWishart分布は、スペクトル分解とジョルダン代数構造とどのように関係するか。

主な発見

• 条件付き期待値構造が成り立つための唯一の可能な k の値は k=2 である。
• 条件を満たすためには、基本空間 V がユークリッドジョルダン代数構造を備えている必要がある。
• 確率変数 X と Y は、関連するジョルダン代数に伴う対称錐上にWishart分布に従う必要がある。
• 条件付き期待値 E(X|X+Y) = a(X+Y) が成り立つのは、X と Y が同じ尺度パラメータを持つWishart分布に従う場合に限る。
• 2次形式の空間 Q を Q_1 ⊕ Q_2 に分解することは、ジョルダン代数枠組みにおける2次形式の対称部分と反対称部分に対応する、標準的である。
• 作用素 Ψ のトレース計算により、トレースに値 1 を寄与させるのは特定の成分（A1, B2, B4）のみであり、分解の一意性が確認される。