[論文レビュー] Why the 1-Wasserstein distance is the area between the two marginal CDFs

Marco de Angelis, Ander Gray|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2021

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 2被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、2つの単変量確率分布間の1- Wasserstein 距離が、それらの累積分布関数（CDF）の間の面積に等しいことを確立している。これは、Wasserstein 距離の最適なカップリングが $M$ コピュラ（完全な正の依存）によって達成されることを示すことにより証明され、距離が分位数関数の絶対差の積分に還元され、幾何的には CDF 間の面積に対応する。

ABSTRACT

We elucidate why the 1-Wasserstein distance $W_1$ coincides with the area between the two marginal cumulative distribution functions (CDFs). We first describe the Wasserstein distance in terms of copulas, and then show that $W_1$ with the Euclidean distance is attained with the $M$ copula. Two random variables whose dependence is given by the $M$ copula manifest perfect (positive) dependence. If we express the random variables in terms of their CDFs, it is intuitive to see that the distance between two such random variables coincides with the area between the two CDFs.

研究の動機と目的

• 2つの単変量分布間の1-Wasserstein 距離がなぜそれらの CDF 間の面積に等しいかを説明すること。
• コピュラを用いて Wasserstein 距離を形式化し、$M$ コピュラが下界を達成することを示すこと。
• 完全な正の依存（$M$ コピュラを介して）が1-Wasserstein 距離における最小輸送コストをもたらすことを示すこと。
• ストキャスティック・ドミナンスおよび非重複サポートの下での $W_1$ の解析的表現を提供すること。

提案手法

• スカラの定理を用いてコピュラを介して1-Wasserstein 距離を表現し、$W_1(X,Y) = \int_{[0,1]^2} |F_X^{-1}(u) - F_Y^{-1}(v)| \, dC(u,v)$ として書き直す。
• すべてのコピュラ $C$ における下界が、$M(u,v) = \min\{u,v\}$ として定義される $M$ コピュラで達成されることを証明する。このコピュラは完全な正の依存を誘導する。
• $W_1$ の同等の表現として $\int_{[0,1]} |F_X^{-1}(u) - F_Y^{-1}(u)| \, du$ を導出し、これが逆 CDF 間の面積に等しいことを示す。
• 周辺 CDF を用いた $\mathbb{E}|X-Y|$ の別表現 $\int_{-\infty}^{\infty} \left(F_X(t) + F_Y(t) - 2C(F_X(t), F_Y(t)) \right) dt$ を用い、$C = M$ がこの表現を最小化することを示す。
• ストキャスティック・ドミナンス（すべての $u$ に対して $F_X^{-1}(u) > F_Y^{-1}(u)$）の下で、$W_1(X,Y) = \mathbb{E}[X] - \mathbb{E}[Y]$ であることを確立する。
• 非重複サポートを持つ確率変数に対して、$W_1(X,Y)$ が期待値の絶対差に等しくなることを証明する。これは依存構造に依存しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ2つの単変量分布間の1-Wasserstein 距離がそれらの CDF 間の面積に等しいのか？
• RQ2 1-Wasserstein 距離を最小化するコピュラ構造は何か？ なぜそれが完全な正の依存に対応するのか？
• RQ3 分位数関数とコピュラの使用が、Wasserstein 距離を幾何的面積にどのように変換するのか？
• RQ4 どのような条件下で $W_1(X,Y)$ が期待値の差に簡略化されるのか？
• RQ5 $M$ コピュラは1-Wasserstein 距離における最小輸送コストを達成するために果たす役割は何か？

主な発見

• 1-Wasserstein 距離 $W_1(X,Y)$ は、最適なカップリングが $M$ コピュラによって達成されることにより、$X$ と $Y$ の CDF 間の面積に等しい。
• $W_1$ の最適なカップリングは $M$ コピュラによって与えられ、確率積分変換において $u = v$ を強制することで、$W_1(X,Y) = \int_0^1 |F_X^{-1}(u) - F_Y^{-1}(u)| \, du$ が得られる。
• ストキャスティック・ドミナンス（$X \succ Y$）の下では、1-Wasserstein 距離は $\mathbb{E}[X] - \mathbb{E}[Y]$ に簡略化される。
• 非重複サポートを持つ確率変数に対して、$W_1(X,Y)$ は $|\mathbb{E}[X] - \mathbb{E}[Y]|$ に等しくなる。これは依存構造に依存しない。
• $M$ コピュラは被積分関数 $F_X(t) + F_Y(t) - 2C(F_X(t), F_Y(t))$ を最小化するため、Wasserstein 距離を最小化する。
• $W_1$ の面積解釈は幾何的に直感的である：完全な依存を介してカップリングされた際、逆 CDF のグラフ間の面積に対応する。