[論文レビュー] Wide Morita contexts in Bicategories

Laiachi El Kaoutit|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、任意の双圏における広義の右モーリタ・コンテキストの形式的概念を導入し、環と加群を超えて古典的モーリタ理論を一般化する。同論文は、1-セルがこれらの広義の右モーリタ・コンテキストである新しい双圏 W(B) を構成し、その枠組みを双モジュール上のコモナドのアイレンバーグ＝ムーア双圏に適用することで、それらのコンテキストがアーベル圏でない場合でもコモジュール圏の同値を誘導することを示している。

ABSTRACT

We give a formal concept of (right) wide Morita context between two 0-cells in arbitrary bicategory. We then construct a new bicategory with the same 0-cells as the oldest one, and with 1-cells all these (right) wide Morita contexts. An application to the (right) Eilenberg-Moore bicategory of comonads associated to the bimodules bicategory is also given.

研究の動機と目的

• 環と加群を超えて、任意の双圏へモーリタ・コンテキストの概念を一般化すること。
• 双圏内の0-セル間の広義の右モーリタ・コンテキストを形式化し、古典的モーリタ理論を拡張すること。
• 1-セルが広義の右モーリタ・コンテキストである新しい双圏 W(B) を構成し、同値性を統一的に研究する枠組みを提供すること。
• 双モジュールの双圏上のコモナドの右アイレンバーグ＝ムーア双圏にその構成を適用し、コンテキストとコモジュール圏を結びつけること。
• 構成が構造的性質を保存し、アーベル圏でない状況（例えばコモジュール圏）においても同値を誘導することを示すこと。

提案手法

• 双圏における広義の右モーリタ・コンテキストを、1-セル、余単位、単位を含む4重項として定義し、整合性条件を満たすものとする。
• 構造を尊重する広義のモーリタ・コンテキスト間の準同形を導入し、カテゴリー的枠組みを可能にする。
• B と同じ0-セルを持つ新しい双圏 W(B) を構成し、そのホム・カテゴリは広義の右モーリタ・コンテキストとその準同形からなる。
• 双圏の準同形に関して、構成 W(B) の関手的性質を証明する。
• 双モジュール上のコモナドの右アイレンバーグ＝ムーア双圏 REM(Bim) にその構成を適用し、コンテキストとコモジュール圏を結びつける。
• 図式的推論と自然変換を用いて、誘導された構造が必要な整合性および適合条件を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的モーリタ・コンテキストの概念を任意の双圏へどのように一般化できるか？
• RQ2 双圏内の0-セル間の広義の右モーリタ・コンテキストの集合がどのような構造を持ち、それを双圏的構造に持ち込めるか？
• RQ3 双圏の準同形に関して、W(B) の構成が本質的な双圏的性質を保存するか？
• RQ4 アイレンバーグ＝ムーア双圏における広義のモーリタ・コンテキストが、コリング上のコモジュール圏の同値を誘導できるか？
• RQ5 W(REM(Bim)) における誘導された構造と、コモジュール圏における既知のモーリタ型同値との関係は何か？

主な発見

• 任意の双圏において、広義の右モーリタ・コンテキストの形式的定義が確立され、環間の古典的モーリタ・コンテキストを一般化した。
• 双圏 W(B) の構成は関手的であり、1-セルが広義の右モーリタ・コンテキストである well-defined な双圏をもたらす。
• W(REM(Bim)) のすべての1-セルは、コリング上の右コモジュール圏間の広義の右モーリタ・コンテキストを誘導する。
• 誘導されたコンテキストは、単位と余単位の三角恒等式を含む必要な整合性条件を満たし、コモジュール圏がアーベル圏でない場合でも成立する。
• この枠組みは、アーベル圏およびグロテンディーク圏における従来のモーリタ理論の結果を統一的かつ拡張し、コモジュール、順序付き加群、コアルゲブラを含むものも含む。
• この方法は、エンタインダ構造、ホフ・モジュール、局所単位を持つ環上のコリングに対しても適用可能であり、モーリタ型同値の範囲を広げている。