[論文レビュー] $\widetilde{Q}$-representation of real numbers and fractal probability distributions

Sergio Albeverio, V. D. Koshmanenko+2 more|ArXiv.org|Aug 1, 2003

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$s$-adic 展開の一般化として実数の$\widetilde{Q}$-表現を導入し、任意の局所的構造が複雑なフラクタルおよび測度の構成と解析を可能にする。確率変数の独立な$\widetilde{Q}$-記号の分布が絶対連続、特異連続、または純粋点型であるための必要十分条件を、ハウスドルフ次元および記号周波数解析を用いて導出し、その台のフラクタル的性質を特徴づける。

ABSTRACT

A $\widetilde{Q}-$representation of real numbers is introduced as a generalization of the $p-$adic and $Q-$representations. It is shown that the $\widetilde{Q}-$representation may be used as a convenient tool for the construction and study of fractals and sets with complicated local structure. Distributions of random variables $ξ$ with independent $\widetilde{Q}-$symbols are studied in details. Necessary and sufficient conditions for the probability measures $μ_ξ$ associated with $ξ$ to be either absolutely continuous or singular (resp. pure continuous, or pure point) are found in terms of the $\widetilde{Q}-$representation. In addition the metric-topological properties for the distribution of $ξ$ are investigated. A number of examples are presented.

研究の動機と目的

• 実数の一般化された記号的表現（$\widetilde{Q}$-表現）を構築し、$s$-adic 展開を拡張することで、$[0,1]$ 内で任意のハウスドルフ次元を有するフラクタルの構成を可能にする。
• 独立な$\widetilde{Q}$-記号を有する確率変数から生じる確率分布の測度的・位相的・フラクタル的性質を分析する。
• 得られる確率測度を、$\widetilde{Q}$-表現のパラメータに基づいて、絶対連続、特異連続、または純粋点型に分類する。
• 記号周波数および$\widetilde{Q}$-行列パラメータを用いて、その確率変数の分布のハウスドルフ＝ベシコビッチ次元を計算する。

提案手法

• $\widetilde{Q}$-表現は、変動する桁確率と行列$q_{ik}$に符号化された遷移規則を許容することで、$s$-adic 展開を一般化する。
• 確率変数$\xi$は、各桁$k$における記号$i$の確率$p_{ik}$が指定された独立な$\widetilde{Q}$-記号を持つように構成される。
• 分布の台は、$\widetilde{Q}$-表現の漸近的桁周波数が$p_i$である点の集合$M[\widetilde{Q},(p_0,\dots,p_{s-1})]$として特徴づけられる。
• ハウスドルフ次元は、記号的力学系および測度論的解析に基づいて導出された式$\alpha_0(\xi) = \frac{\sum p_i \ln p_i}{\sum p_i \ln q_i}$により計算される。
• 台の位相的・測度的性質は、全測度を有する最小集合を捉える必要最小限の台$N_\xi^\infty$を用いて分析される。
• 本稿では、特異連続測度を純粋$C$-、$S$-、$P$-型成分に分解することにより、得られる分布の分類が行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\widetilde{Q}$-表現および記号確率$p_{ik}$のどの条件が、$\xi$の分布が絶対連続であることを保証するか？
• RQ2 分布が特異連続または純粋点型であるのはいつか？ また、これらのタイプは台の位相的・測度的構造とどのように関係するか？
• RQ3 $\widetilde{Q}$-行列および記号確率から、$\xi$の分布のハウスドルフ＝ベシコビッチ次元をどのように計算できるか？
• RQ4 必要最小限の台$N_\xi^\infty$と分布のフラクタル的構造（特に特異な場合）の関係は何か？
• RQ5 $\widetilde{Q}$-表現を用いて、任意に指定されたハウスドルフ次元$\alpha_0 \in [0,1]$を有するフラクタルを生成できるか？

主な発見

• 記号確率$p_{ik}$が定数かつ対称的である場合、例えば$p_{0k} = p_{2k} = 1/2$、$p_{1k} = 0$のとき、$\xi$の分布はルベーグに関して絶対連続であり、純粋$P$-型の測度を有する。
• 記号確率が$p_{0k} = 1 - 1/2^k$、$p_{1k} = 0$、$p_{2k} = 1/2^k$のとき、$\xi$の分布は離散測度であり、ハウスドルフ次元が0である可算集合に台を持つ。
• 記号確率が$p_{0k} = 1/4$、$p_{1k} = 0$、$p_{2k} = 3/4$のとき、$\xi$の分布は正のハウスドルフ次元を有するがルベーグ測度が0の純粋$P$-型の特異連続測度である。
• 分布のハウスドルフ＝ベシコビッチ次元は、$\alpha_0(\xi) = \frac{\sum p_i \ln p_i}{\sum p_i \ln q_i}$で与えられ、ここで$p_i$および$q_i$は$\widetilde{Q}$-表現の漸近的周波数およびスケーリング係数である。
• 必要最小限の台$N_\xi^\infty$は、特異分布に対しては位相的台よりも情報量が多く、複雑な局所的構造を有する全測度集合を捉える。
• $\widetilde{Q}$-表現を用いることで、任意の所望のハウスドルフ次元$\alpha_0 \in [0,1]$を有する、至る所稠密で非コンパクトなフラクタルの構成が可能である。