[論文レビュー] Width of l^p balls

Antoine Gournay|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2007

Point processes and geometric inequalities参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ε-埋め込みを用いて l^p 球の Urysohn 幅を調べ、Hadamard 行列、Borsuk-Ulam 定理、充填半径などの道具を用いて境界を導出する。1 ≤ p ≤ 2 における次元 3 での幅の完全な特徴付けが得られる。

ABSTRACT

We say a map f:X o Y is an \epsilon-embedding if it is continuous and the diameter of the fibres is less than \epsilon. This type of maps is used in the notion of Urysohn width (sometimes referred to as Alexandrov width), a_n(X). It is the smallest real number such that there exists an \epsilon-embedding from X to a n-dimensional polyhedron. Surprisingly few estimations of these numbers can be found, and one of the aims of this paper is to present some. Following Gromov, we take the slightly different point of view by looking at the smallest dimension n for which there exists a \epsilon-embedding to a polyhedron of dimension n. While bounds are obtained using Hadamard matrices, the Borsuk-Ulam theorem, the filling radius of spheres, and lower bounds for the diameter of sets of n+1 points not contained in a hemisphere (obtained by methods very close to those of Ivanov and Pichugov). We are also able to give a complete description in dimension 3 for 1 \leq p \leq 2.

研究の動機と目的

• ε-埋め込みにおける多面体のターゲットの最小次元を測る幾何的不変量である Urysohn 幅の推定を目的とする。
• 既存の限られた Urysohn 幅の境界を、高度な位相的および幾何的技法を用いて拡張することを目的とする。
• 1 ≤ p ≤ 2 における次元 3 での l^p 球の幅の完全な記述を提供することを目的とする。

提案手法

• ファイバーの直径が ε より小さい連続写像である ε-埋め込みの概念を用いて、Urysohn 幅を定義し、計算する。
• 反対点の配置を用いて、Borsuk-Ulam 定理を応用し、幅の下界を導出する。
• 球の充填半径を活用して、多面体ターゲットの最小次元を推定する。
• Hadamard 行列を用いて明示的な ε-埋め込みを構成し、幅の上界を導出する。
• Ivanov と Pichugov の手法に従い、半球に含まれない n+1 個の点の集合の直径を分析する。
• 位相的および距離的道具を統合し、1 ≤ p ≤ 2 における次元 3 での完全な特徴付けを達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1 ≤ p ≤ 2 における次元 3 での l^p 球の Urysohn 幅は何か、また p に応じてどのように変化するか？
• RQ2 Borsuk-Ulam 定理と Hadamard 行列は、l^p 球の Urysohn 幅をどのように境界づけるか？
• RQ3 球の充填半径は、ε-埋め込みのための多面体ターゲットの最小次元を推定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 半球に含まれない n+1 個の点の配置は、幅の下界をどのように導くか？

主な発見

• 本論文は、1 ≤ p ≤ 2 における次元 3 での l^p 球の Urysohn 幅を完全に記述し、この特定のケースでの問題を解決する。
• Ivanov と Pichugov の手法に類似した方法に基づき、半球に含まれない n+1 個の点の集合の直径を用いて、幅の下界が導出される。
• Borsuk-Ulam 定理が適用され、l^p 球の幅に対する非自明な下界が確立される。
• Hadamard 行列が用いられ、明示的な ε-埋め込みが構成され、幅の上界が得られる。
• 球の充填半径は、ε-埋め込みのための多面体ターゲットの最小次元を推定する上で寄与する。