[論文レビュー] Wiedersehen metrics and exotic involutions of Euclidean spheres

Uwe Abresch, Carlos Durán+2 more|ArXiv.org|Jan 6, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Gromoll-Meyerの特異7次球面 $\Sigma^7_{2,-1}$ 上の wiedersehen 度量の測地線を用いて、Euclidean 球面 $S^5$, $S^6$, $S^{13}$, $S^{14}$ 上の非自明な自由反転写像の明示的・幾何的公式を構成する。これらの反転写像は、実射影空間に同相だが微分同相でない商空間を生じさせ、$\pi_1\mathrm{Diff}(S^5)$ および $\pi_1\mathrm{Diff}(S^{13})$ の非自明な元の明示的構成を可能にするとともに、$\mathbb{Z}_2 \times S^3$ の作用における非キャンセレーション現象を示す。

ABSTRACT

We provide explicit, simple, geometric formulas for free involutions rho of Euclidean spheres that are not conjugate to the antipodal involution. Therefore the quotient S^n/rho is a manifold that is homotopically equivalent but not diffeomorphic to RP^n. We use these formulas for constructing explicit non-trivial elements in pi_1 Diff(S^5) and pi_1 Diff(S^13) and to provide explicit formulas for non-cancellation phenomena in group actions.

研究の動機と目的

• 自明でない反転写像（反転写像に共轭でない）を、Euclidean 球面に明示的・幾何的に構成すること。
• これらの反転写像を用いて、$\pi_1\mathrm{Diff}(S^5)$ および $\pi_1\mathrm{Diff}(S^{13})$ の非自明な元を明示的に構成すること。
• $\mathbb{Z}_2 \times S^3$ の作用において、各因子への制限が共轭であるが、全体として共轭でない作用の構成により、群作用における非キャンセレーション現象を示すこと。
• クォータニオンからカーレイ数への幾何的構成の拡張により、次元13および14における特異反転写像を得ること。

提案手法

• Gromoll-Meyer の特異7次球面 $\Sigma^7_{2,-1}$ 上の wiedersehen 度量の測地線を用いて、$Sp(2) \to S^7$ の $S^3$-バンドルを、$Sp(2)$ 内の不変な6次球面 $\mathcal{S}_6 \subset Sp(2)$ に制限したものの自明化を定義する。
• 自明化 $\phi: S^6 \times S^3 \to \mathcal{S}_6$ を用いて、$Sp(2)$ 上の $\bullet$-作用を $S^6 \times S^3$ 上の $\mathbb{Z}_2 \times S^3$-作用に持ち上げ、2つの異なる作用 $r_1$ と $r_2$ を得る。
• 反転写像 $\rho$ を、$Sp(2)$ 上の反転写像 $m$ を $\bigstar$-作用を介して制限することにより $S^6$ 上に定義する。これは標準的な反転作用 $\alpha$ とは異なる。
• クォータニオンからカーレイ数への置換により、次元13および14への構成を拡張し、バンドル構造を保ちながら $S^{13}$ および $S^{14}$ 上に特異反転写像を誘導する。
• 誘導された微分同相写像が $\pi_0\mathrm{Diff}(S^{n+1})$ に非自明に持ち上がることを示し、$\pi_1\mathrm{Diff}(S^n)$ における非自明性を証明する。
• 2つの非共轭作用 $r_1$ と $r_2$ を結ぶ共轭微分同相写像 $F((p,w),q) = (qp\bar{q}, qw\bar{q}, \bar{q})$ を構成し、非キャンセレーション現象の幾何的起源を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反転写像に共轭でない特異自由反転写像について、Euclidean 球面上で明示的・幾何的公式を構成できるか？
• RQ2 これらの特異反転写像は、$n=5$ および $n=13$ の場合に $\pi_1\mathrm{Diff}(S^n)$ の非自明な元を生じるか？
• RQ3 $\mathbb{Z}_2 \times S^3$ の作用において、各因子への制限が共轭であるが、全体として共轭でない作用の構成により、群作用における非キャンセレーション現象を明示的に実現できるか？
• RQ4 $\Sigma^7_{2,-1}$ 上の wiedersehen 度量に基づく幾何的構成をクォータニオンからカーレイ数に拡張し、次元13および14における特異反転写像を導出できるか？
• RQ5 反転写像による共轭作用としての $\mathbb{Z}_2$-作用が、$\mathrm{Diff}^+(S^n)$ 上で特異反転写像を区別する役割を果たすか？

主な発見

• Gromoll-Meyer の特異7次球面 $\Sigma^7_{2,-1}$ 上の wiedersehen 度量の測地線を用いて、$S^5$, $S^6$, $S^{13}$, $S^{14}$ 上の特異反転写像 $\rho$ の明示的公式が構成された。
• $S^n / \rho$ の商空間はホモトピー同値ではあるが、$\mathbb{R}P^n$ とは微分同相でないため、特異実射影空間の明示的例が得られた。
• $\pi_1\mathrm{Diff}(S^5)$ および $\pi_1\mathrm{Diff}(S^{13})$ の非自明な元が、特異反転写像によって誘導される微分同相写像の明示的持ち上げにより構成された。
• $\mathbb{Z}_2$ および $S^3$ への制限が共轭であるが、全体として共轭でない2つの $\mathbb{Z}_2 \times S^3$-作用 $r_1$ と $r_2$ を $S^6 \times S^3$ 上に構成することで、非キャンセレーション現象が示された。
• 2つの非共轭作用を結ぶ共轭微分同相写像 $F((p,w),q) = (qp\bar{q}, qw\bar{q}, \bar{q})$ が、非キャンセレーションの幾何的起源を確認する。
• クォータニオンからカーレイ数への構成の拡張により、次元13および14における特異反転写像が得られたが、Gromoll-Meyer フibratioin のカーレイ数版が存在しないにもかかわらず、その構成は成立した。