[論文レビュー] Wiener Measures on Riemannian Manifolds and the Feynman-Kac Formula

B Christian, Pfaeffle, Frank|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2011

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ひとこと要約

この論文は、フレーム bundle や埋め込みに依存せずに、一般のリーマン多様体上でウィーナー測度を構成し、熱核遷移関数を用いてフェインマン＝ハースの公式を証明する。ストキャスティック完備性を確立し、コルモゴロフ＝チェンツォフの基準を用いてパスの連続性を証明し、正規リーマン被覆の上でのパスの上げ下げがウィーナー測度を保存することを示す。また、双曲空間とユークリッド空間における漸近的パス行動の比較と、$L^\infty$ ポテンシャルに対するフェインマン＝ハースの公式を含む主要な結果を提示する。

ABSTRACT

This is an introduction to Wiener measure and the Feynman-Kac formula on general Riemannian manifolds for Riemannian geometers with little or no background in stochastics. We explain the construction of Wiener measure based on the heat kernel in full detail and we prove the Feynman-Kac formula for Schrödinger operators with $L^\infty$-potentials. We also consider normal Riemannian coverings and show that projecting and lifting of paths are inverse operations which respect the Wiener measure.

研究の動機と目的

• リーマン幾何学の研究者を対象とし、最小限の確率論的背景を仮定して、リーマン多様体上でのウィーナー測度とフェインマン＝ハースの公式について、自己完結的かつアクセス可能な入門を提供すること。
• 埋め込みやフレーム bundle に依存せずに、熱核を遷移関数として用いることで、一般のリーマン多様体上でのウィーナー測度を構成すること。
• 測度論的アプローチを用いて、$L^\infty$-正則ポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素に対するフェインマン＝ハースの公式を証明すること。
• 正規リーマン被覆において、パスの上げ下げが互いに逆演算であり、ウィーナー測度を保存することを示すこと。
• 双曲空間とユークリッド空間における長時間のパス行動を比較し、双曲空間では指数的体積増大のため、期待距離の成長が速いことを示すこと。

提案手法

• 測度付き距離空間上で熱核を遷移関数として用い、コルモゴロフの構成法を適用して部分確率過程を定義する。
• コルモゴロフ＝チェンツォフの基準を用いて、サンプルパスのほとんど everywhere でのホルダー連続性を保証し、熱核からの一様推定に依存する。
• 閉多様体上でまずウィーナー測度を構成し、二重化のテクニックを用いて境界付きコンパクト多様体へ拡張し、次に被覆と極限操作を用いて一般多様体へ拡張する。
• 無限時間ウィーナー測度を $C_{x_0}([0,\infty); S)$ 上に定義するための必要条件として、ストキャスティック完備性を確立する。
• 熱核の性質を用いて、固定端点を持つパス上の条件付きウィーナー測度を定義し、極限においての一致性を証明する。
• 接続場と曲率の境界を用いた幾何的比較議論を適用し、部分多様体と周囲多様体における距離を比較し、距離関数の漸近的同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 埋め込みやフレーム bundle に依存せずに、一般のリーマン多様体上でウィーナー測度を厳密に構成する方法は何か？
• RQ2 熱核が、連続パス空間上で連続な確率過程を誘導するための条件は何か？
• RQ3 双曲空間とユークリッド空間において、初期点からの期待距離の漸近的挙動はどのように異なるか？
• RQ4 正規リーマン被覆において、パスの上げ下げがウィーナー測度をどのように保存するのか、その意味は何か？
• RQ5 熱核に基づく測度論的アプローチを用いて、$L^\infty$ ポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素に対するフェインマン＝ハースの公式を証明できるか？

主な発見

• $C_{x_0}([0,T]; S)$ 上のウィーナー測度は、任意のリーマン多様体 $S$ に対して存在する。これは、熱核遷移関数とコンパクト部分集合の境界付き被覆による極限操作を用いて構成される。
• コルモゴロフ＝チェンツォフの基準により、構成された過程はほとんど確実に $\alpha < 1/2$ のホルダー連続なパスを持つ。
• 時間 $t \searrow 0$ の小さな時間において、初期点からの期待距離の漸近的挙動は、ユークリッド空間と双曲空間の両方で同一である。
• 時間 $t \to \infty$ の大きな時間において、双曲空間では指数的体積増大のため、期待距離の成長がユークリッド空間よりも著しく速い。
• 正規リーマン被覆において、パスの上げ下げは互いに逆演算であり、ウィーナー測度を保存する。これにより、底空間と被覆空間の間で測度論的整合性が確立される。
• $L^\infty$ ポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素に対してフェインマン＝ハースの公式が成り立ち、熱核表現と近似法を用いた証明により示される。