[論文レビュー] Wigner function for damped systems

Dariusz Chruściński|ArXiv.org|Sep 4, 2002

Elasticity and Wave Propagation参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、減衰する量子系の位相空間形式を、共振状態—非ヒルベルト空間の固有状態である—に対する一般化されたウィグナー関数の類似物を構築することで導入する。複素共役の共振状態のペアを用い、Moyalの $\.star$-積の下で変形された固有値方程式を満たす定常関数 $F^\pm$ を定義する。これにより、標準的なヒルベルト空間の枠組み外に位置する状態であっても、正規化や周辺確率分布といったウィグナー関数の重要な性質が保たれる。

ABSTRACT

Both classical and quantum damped systems give rise to complex spectra and corresponding resonant states. We investigate how resonant states, which do not belong to the Hilbert space, fit the phase space formulation of quantum mechanics. It turns out that one may construct out of a pair of resonant states an analog of the stationary Wigner function.

研究の動機と目的

• 共振状態が標準的なヒルベルト空間の外にある場合に、減衰する量子系を位相空間で形式化する課題に対処すること。
• 減衰系に現れる非正規化可能で複素エネルギーを持つ非正規状態に、ウィグナー関数形式を拡張すること。
• 非ヒルベルト空間的性質を持つ共振状態であっても、正規化や周辺確率分布といったウィグナー関数の主要な性質を保つ位相空間表現を構築すること。
• この一般化されたウィグナー関数が、古典的減衰運動および標準的な量子演算子的手法と整合することを示すこと。

提案手法

• エネルギーが複素共役であるペアの共振状態 $\psi^\pm$ のWeyl変換として一般化されたウィグナー関数 $F^\pm$ を定義する。
• Moyalの $\star$-積を用いて、$H \star F^\pm = F^\pm \star H = E^\pm F^\pm$ という固有値方程式を導出し、標準的なウィグナー関数関係を一般化する。
• 積分公式 $F^\pm(x,p) \propto \int dy\, e^{-ipy} \overline{\psi^+}(x - \frac{\hbar}{2}y) \psi^- (x + \frac{\hbar}{2}y)$ を用いて $F^\pm$ を構築し、$F^- = \overline{F^+}$ を保証する。
• $F^\pm$ が正規化されていること（$\int F^\pm\, d\mu = 1$）および周辺確率分布 $\pi^\pm_{\bf x}$ と $\pi^\pm_{\bf p}$ が有効な古典的確率分布を形成することを示す。
• 減衰調和振動子にこの形式を適用し、$F^\pm_{nm}$ が $H_{\rm dho} \star F^\pm_{nm} = E_{nm}^\pm F^\pm_{nm}$ を満たし、複素固有値 $E_{nm}^\pm = \hbar\omega(n+m+1) - i\hbar\gamma(n-m)$ を持つことを示す。
• 生成・消滅演算子を用いた代替的 $G_{nm}$ の構築と比較し、異なるスペクトルを得るが類似したペア構造を持つが、$G_{nm}$ は正規化不可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化不可能な共振状態が存在する減衰する量子系に対して、位相空間表現を構築することは可能か？
• RQ2 ヒルベルト空間外に位置する複素エネルギーを持つ共振状態を扱えるように、ウィグナー関数形式をどのように一般化できるか？
• RQ3 一般化された関数 $F^\pm$ は、正規化や周辺確率分布といった標準ウィグナー関数の本質的性質を保持するか？
• RQ4 $F^\pm$ の構築と、生成・消滅演算子に基づく $G_{nm}$ のアプローチとの関係は何か？
• RQ5 減衰ハミルトニアンの複素固有値が、位相空間の $\star$-積固有値方程式にどのように現れるか？

主な発見

• 一般化されたウィグナー関数 $F^\pm$ は、複素共役エネルギー $E^\pm = \overline{E^+}$ を持つ共振状態 $\psi^\pm$ のペアから構築され、$F^- = \overline{F^+}$ を満たす。
• 関数 $F^\pm$ は $\star$-積固有値方程式 $H \star F^\pm = E^\pm F^\pm$ を満たし、標準的なウィグナー関数関係を一般化する。
• 正規化が保たれる：$\int_P F^\pm\, d\mu = 1$ であり、周辺分布 $\pi^\pm_{\bf x}$ と $\pi^\pm_{\bf p}$ は有効な古典的確率分布である。
• 減衰調和振動子では、周辺分布が $\pi^\pm_{\bf x} = \delta(x_1)\cdots\delta(x_n)$ および $\pi^\pm_{\bf p} = \delta(p_1)\cdots\delta(p_n)$ であり、位置と運動量の分布が局在的であることを示す。
• $F^\pm$ 関数は、減衰振動子の離散的複素スペクトルと整合する複素固有値 $E_{nm}^\pm = \hbar\omega(n+m+1) - i\hbar\gamma(n-m)$ を得る。
• 代替的構築 $G_{nm}$ は同じペア構造を持つが、異なるスペクトル $\mu_{nm} = \hbar\omega(n+m+1) - i\hbar\gamma(n-m)$ を持ち、$G_{nm}$ は正規化不可能であり、ウィグナー関数の類似性を失う。