[論文レビュー] WIGNER FUNCTIONS AND STOCHASTICALLY PERTURBED LATTICE DYNAMICS

Giada Basile, Stefano Olla+1 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2008

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、小さな確率的摂動を伴う格子力学にウィグナー関数を新しく応用し、半古典的極限においてウィグナー関数が非弾性衝突を伴う線形輸送方程式に従って進化することを示している。主な結果は、平衡状態におけるエネルギー電流相関関数の1/√t衰減が予測されることであり、これは異なる手法を用いた先行研究と整合的である。

ABSTRACT

We consider lattice dynamics with a small stochastic perturbation of order and prove that for a space-time scale of order 1 the Wigner function evolves according to a linear transport equation describing inelastic collisions. For an energy and momentum conserving chain the transport equation predicts a slow decay, as 1/ √ t, for the energy current correlation in equilibrium. This is in agreement with previous studies using a different method. Wigner functions are a very convenient and versatile tool in the analysis of wave equations. For multi-component linear wave equations the semiclassical part of the solution is covered by the time evolved Wigner function, see (9) with refinements in (5). If the coefficients of the wave equation areweakly random, then in the semiclassical limit the Wigner function is governed by a transport equation, which accounts for the finite life-time of the modes. We refer to the very informative survey (11) and to (1), (8) for two completely worked out benchmarks. A similar, but more involved scheme works for weakly nonlinear wave equations, see (13, 12). In our contribution we develop a novel application for Wigner functions. Rather than stochastically perturbing the coefficients of the wave e we add sto- chastic terms to the equation. They can be written down most easily for a discrete wave equation (lattice dynamics) which is the only case considered here. As a Hamiltonian system the lattice dynamics conserves energy and, depending on the couplings, also momentum. The basic idea is to have the added stochastic terms respect locally such conservation laws. In the context of interacting mechanical particles related models have been studied, e.g., in (10). But in the context of wave equations such an approach is very recent (4, 2, 3). To have a closed equation for the evolution of the Wigner function the stochas- tic part of the generator has to be of order e with e the semiclassical parameter, 0 < e ≪ 1. We will prove that in the limit e → 0 the Wigner function is gov- erned by a linear transport equation. In the cases mentioned above the collision operator of the transport equation describes elastic collisions, while in our case the collisions are inelastic with energy conserved only on average. The Wigner function evolution is very efficient for the understanding of the long-time properties of the stochastic wave dynamics. We will provide only one

研究の動機と目的

• 確率的係数の範囲を超えて、波動方程式における確率的摂動へのウィグナー関数の応用を拡張すること。
• 局所的保存則を満たす小さな確率的ノイズが加わった格子力学の長時間挙動を分析すること。
• 半古典的極限（ε → 0）におけるウィグナー関数の閉じた輸送方程式を導出すること。
• 得られる輸送方程式における衝突の性質を、平均的にはエネルギーを保存するが非弾性であると特定すること。
• 確率的波動系におけるエネルギー輸送および相関関数の衰減を理解するための新しい解析的枠組みを提供すること。

提案手法

• 波動方程式に直接小さな確率的摂動を加えたハミルトニアン系として格子力学をモデル化する。
• 確率的項がエネルギーおよび運動量の局所的保存則を満たすように設計し、波動系における物理的整合性を再現する。
• 半古典的パラメータ ε ≪ 1 を用いて生成子の確率的部分をスケーリングし、厳密な極限を可能にする。
• ε → 0 の極限においてウィグナー関数の進化方程式を導出し、線形輸送方程式への収束を示す。
• 輸送方程式における衝突演算子を分析し、平均エネルギー保存を伴う非弾性衝突を記述していると特定する。
• ウィグナー関数形式を用いて長時間相関性質、特にエネルギー電流相関関数を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 格子力学に小さな確率的ノイズを加えると、波動モードの長時間的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ2 確率的係数ではなく保存則を満たす波動方程式に、ウィグナー関数形式を拡張できるか？
• RQ3 確率的摂動下でウィグナー関数の輸送方程式に現れる衝突演算子の種類は何か？
• RQ4 得られる輸送方程式は、平衡状態におけるエネルギー電流相関関数の特定の衰減率を予測するか？
• RQ5 確率的摂動は、半古典的極限において波動モードの有効的寿命および散乱にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 半古典的極限（ε → 0）において、ウィグナー関数は非弾性衝突を伴う線形輸送方程式に従って進化する。
• 輸送方程式における衝突演算子は、平均的にはエネルギーを保存するが非弾性のプロセスを記述している。
• エネルギーおよび運動量を保存する鎖状系では、モデルが平衡状態においてエネルギー電流相関関数の1/√t衰減を予測する。
• この1/√tの衰減率は、異なる解析的手法によって得られた先行結果と一致しており、ウィグナー関数アプローチの妥当性を裏付けている。
• ウィグナー関数は、確率的摂動を受ける波動系の長時間的性質を分析するための効率的で多様性のあるツールである。
• この手法は、波動モードの有限な寿命や散乱挙動を含め、確率的ノイズ下での有効的力学を的確に捉えている。