[論文レビュー] Wigner Functions for harmonic oscillator in noncommutative phase space

Jianhua Wang, Kang Li+1 more|ArXiv.org|Aug 12, 2009

Mathematical Analysis and Transform Methods被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、星積分の計算を避けるために一般化されたBoppのシフト法を用いて、非可換（NC）位相空間における2次元調和振動子のウィグナー関数を導出する。主な結果は、空間的および位相空間的非可換性からの補正を含む解析的表現であり、非可換パラメータθとθ̄に明示的な依存性を示し、非可換性が標準的な量子力学を越えて位相空間分布を歪める仕組みを明らかにする。

ABSTRACT

We study the Wigner Function in non-commutative quantum mechanics. By solving the time independent Schrödinger equation both on a non-commutative (NC) space and a non-commutative phase space, we obtain the Wigner Function for the harmonic oscillator on NC space and NC phase space respectively.

研究の動機と目的

• 位置座標と運動量座標が非可換である非可換位相空間に、量子力学の位相空間形式を拡張すること。
• 非可換位相空間における2次元調和振動子のウィグナー関数を計算すること、これは基礎的な物理的関心を有する系である。
• 星積分の直接計算を避けるために、一般化されたBoppのシフトを用いた実用的な方法を提供すること、非可換量子力学におけるウィグナー関数の計算に有効である。
• 非可換パラメータθとθ̄が位相空間分布に与える影響を定量化すること、特に基底状態および励起状態における影響を対象とする。

提案手法

• ウィグナー関数は、波動関数のフーリエ変換を用いた標準定義に基づき、非可換位相空間に適応したものである。
• 一般化されたBoppのシフトを用いて、非可換演算子を可換位相空間変数に写像し、星積分を標準積に置き換える。
• α = 1の仮定を採用することで、θおよびθ̄の一次の非可換補正を保持しつつ、変換を単純化する。
• Boppのシフトを用いてハミルトニアンを変換し、得られたウィグナー関数を関連するラゲール多項式で表現する。
• 非可換補正は、指数関数およびラゲール多項式の引数に修正として現れ、θおよびθ̄の効果を符号化する。
• 最終的なウィグナー関数は、標準的な調和振動子のウィグナー関数にシフトされた変数を代入することで得られ、θおよびθ̄のO(θ, θ̄)までに及ぶ補正を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相空間における非可換性は、2次元調和振動子のウィグナー関数を可換の場合と比較してどのように変化させるか？
• RQ2 星積分の直接計算を避けるために、Boppのシフト法を非可換位相空間に一般化できるか？
• RQ3 非可換パラメータθおよびθ̄を含む、非可換位相空間における調和振動子のウィグナー関数の明示的解析的形は何か？
• RQ4 非可換補正は基底状態および励起状態のウィグナー関数にどのように影響を与えるか？
• RQ5 修正された位相空間分布の物理的解釈は何か、特にx₁p₂ − x₂p₁を含む角運動量に類似した項に関しては？

主な発見

• 非可換位相空間における調和振動子のウィグナー関数は、標準形の修正として得られ、非可換補正が指数関数およびラゲール多項式の引数に符号化されている。
• 基底状態のウィグナー関数は、W₀₀ⁿᶜᵖˢ = (πħ)⁻² exp[−(x₁² + p₁² + x₂² + p₂² − (θ + θ̄)/ħ (x₁p₂ − x₂p₁))/ħ] で与えられ、非可換性に起因する位相空間の歪みが示されている。
• 非可換補正は(x₁p₂ − x₂p₁)に比例する項として現れ、空間的および運動量的非可換性と軌道的角運動量の間の結合を示している。
• 励起状態では、O(θ, θ̄)の項によって修正された引数を有する関連ラゲール多項式がウィグナー関数に含まれており、エネルギー準位のシフトおよび分布の変形を反映している。
• 星積分の直接計算を避けるためにBoppのシフトが用いられ、非可換位相空間におけるウィグナー関数の計算に実用的で効率的な手法が提供された。
• 結果から、非可換性の効果は、量子重力や超弦理論の予測に一致して、非常に高いエネルギースケールでのみ観測可能であると示唆される。