[論文レビュー] Wild Lorenz like attractors

Rodrigo Bamón, Jan Kiwi+1 more|ArXiv.org|Aug 1, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、次元が5以上の多様体上の流れにおいて、野生的双曲的集合（安定・不安定多様体が強靭な接しを示すもの）を含む、最初の強靭な特異的アトラクターの例を構成する。制御された力学を持つ修正されたローレンツ型ベクトル場を用い、このようなアトラクターが $ C^1 $-開集合内で一般に存在することを示しており、モース指数2の特異的双曲的点と、インデックス1および2の稠密な周期軌道を有する。

ABSTRACT

We give the first examples of flows which exhibit robust singular attractors containing a wild hyperbolic set (in the sense of Newhouse). A hyperbolic set is said to be wild, if it has tangencies between its stable and unstable manifolds, in a robust way. The only restriction on the ambient manifold is that its dimension should be at least 5.

研究の動機と目的

• 次元 ≥5 の多様体上の流れにおいて、安定・不安定多様体が強靭な接しを示す野生的双曲的集合を含む、最初の強靭な特異的アトラクターを構成すること。
• 古典的ローレンツアトラクターの枠組みを3次元を超えて拡張し、野生的双曲的力学を特異的アトラクターに埋め込むこと。
• このようなアトラクターが $ C^1 $-開かつ $ C^2 $-稠密なベクトル場の集合に存在することを示し、微小な摂動に対しても安定性を保証すること。
• アトラクター内にモース指数1および2の両方の稠密な周期軌道が存在することを確立し、動的複雑性の高さを示すこと。
• 任意の次元 ≥5 の多様体に、周期軌道の周囲での局所的ベクトル場の修正により、このようなアトラクターを埋め込むメカニズムを提供すること。

提案手法

• 次元 $ n \to 5 $ の固有トーラス上に、モース指数2の双曲的特異点と、重複度 $ n-3, 1, 2 $ を持つ固有値 $ -\nu, -\nu, \rho $ を持つ $ C^2 $ ベクトル場 $ X_{\rho,\nu} $ の族を構成する。ここで $ 0 < \nu < \rho < \nu $ である。
• 流れの力学を、断面における最初の再帰（ポincare）写像 $ \tilde{F}_{X} $ に還元する。この写像は、幾何的ローレンツ写像を一般化した複雑な写像 $ F_{\rho,\nu}(z) = (1 - \rho + \rho |z|^{\nu/\rho}) (z/|z|)^2 + 1 $ にモデル化される。
• リーフ空間変換を用いて、力学を、後退軌道の不安定多様体が安定多様体と接するかを解析できる空間へと持ち上げる。
• リーフ空間における後退軌道の不安定多様体が、周期点の安定多様体と接するのを証明し、強靭な接しを介して野生的双曲的集合の存在を示す。
• 残渣的 $ C^\nu $-稠密部分集合における $ C^1 $-近傍内のベクトル場に対して、周期点が両方のインデックス1および2でアトラクター内に稠密に分布することを示し、強靭なトランジティビティと稠密性を確立する。
• トラッピング領域の可算基底と $ C^1 $-開性を用いた位相的議論により、両方のインデックスの周期軌道が稠密であるベクトル場の集合が $ C^1 $-位相において残渣的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元流れにおける強靭な特異的アトラクターは、安定・不安定多様体が強靭な接しを示す野生的双曲的集合を含むことができるか？
• RQ2 3次元ローレンツ枠組みを超えて、次元が5以上の多様体上にこのようなアトラクターを構成することは可能か？
• RQ3 これらのアトラクターは、複雑なトランジティブな力学を示す複数のモースインデックスを持つ稠密な周期軌道を支持するか？
• RQ4 動的力学は、穴あき複素平面への写像に還元可能か？これは幾何的ローレンツモデルを高次元に一般化する。
• RQ5 このようなアトラクターの存在は、ベクトル場の微小な $ C^1 $-摂動に対しても安定的か？

主な発見

• 本稿は、次元が5以上の多様体上の流れにおいて、安定・不安定多様体の強靭な接しによって定義される野生的双曲的集合を含む、最初の既知の強靭な特異的アトラクターの例を構成する。
• 任意の $ C^1 $-ベクトル場 $ X $ に対して、$ C^1 $-開集合 $ \theta $ に属する場合、アトラクター $ \theta_X $ はモース指数2の双曲的特異点を含む。
• アトラクター $ \theta_X $ は、後退軌道の不安定多様体と周期点の安定多様体の接しによって確認される野生的双曲的集合を含む。
• $ \theta $ の残渣的部分集合（$ C^\nu $-位相で稠密）が存在し、その各 $ X $ に対して、アトラクター $ \theta_X $ 内にモース指数1および2の周期軌道が両方とも稠密に分布する。
• アトラクターは強靭である：$ X_{\rho,\nu} $ の十分小さな $ C^1 $-近傍内の任意の $ C^2 $ ベクトル場が、同一のアトラクター構造を示す。
• 本構成は一般化可能である：次元 ≥5 の多様体上に吸引的周期軌道を有する任意の流れは、その周期軌道の近傍で局所的にベクトル場を修正することにより、このような野生的特異的アトラクターを生成できる。