[論文レビュー] Wild quotient surface singularities whose dual graphs are not star-shaped

Hiroyuki Ito, Stefan Schroeer|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿は正標数における野生的商曲面特異点を調査し、その双対解消グラフが、飼いならし状態における星型グラフとは異なり、少なくとも1つのノードを含む必要があることを証明している。カトの対数構造と特殊なp群によるヘルミート曲線の対角的商の分析を用いて、少なくとも2つのノードを持つ明示的例を構成し、ローレンツィーニが提起した野生的状況下でのこのようなグラフの構造に関する未解決問題を解決した。

ABSTRACT

We obtain some results that answer certain questions of Lorenzini on wild quotient singularities in dimension two. Using Kato's theory of log structures and log regularity, we prove that the dual graph of exceptional curves on the resolution of singularities contains at least one node. Furthermore, we show that diagonal quotients for Hermitian curves by analogues of Heisenberg groups lead to examples of wild quotient singularities where the dual graph contains at least two nodes.

研究の動機と目的

• 正標数 p > 0 における野生的商曲面特異点の双対解消グラフの構造に関して、ローレンツィーニが提起した未解決問題を解決すること。
• このような特異点がノードを含まない双対グラフや複数のノードを含む双対グラフを持つ可能性を特定すること。
• 特に少なくとも2つのノードを持つ非星型双対グラフを持つ、野生的商特異点の明示的例を構成すること。
• 商曲面のエタールコホモロジーおよびピカール群を分析し、その幾何的・算術的不変量を理解すること。
• 商曲面の最小解消におけるチャーン不変量およびピカール数を計算すること。

提案手法

• チェーン型の特異的除法を持つ特異点の局所基本群を解析するため、カトの対数構造および対数正則性の理論を用いる。
• ヒルツェブル―・ジョンソン特異点の局所基本群が標数指数と互いに素な位数の巡回群であるという事実を用い、アーティンの有理型二重点に関する結果を拡張する。
• 自己積の対角的商を、そのSylow p部分群である特殊なp群（ハイゼンベルク群に類似）によって構成する。
• ドゥルガーチェフの公式およびテート・シオダの公式を適用し、オイラー標数、正則類、ピカール数などの位相的不変量を計算する。
• G-表現 H¹(C, ℤ_l) のスワン指数を計算することで、特異ファイバーの構造およびオイラー標数を特定する。
• 有限性結果および五角形補題を用いて、一般ファイバーのピカール群およびその torsion を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数 p > 0 における野生的商曲面特異点の双対解消グラフは、ノードを全く含まないことがあるか？
• RQ2 少なくとも2つのノードを含む双対解消グラフを持つ野生的商特異点を構成できるか？
• RQ3 代数的に閉体上の正標数における野生的商特異点の双対グラフは、混合標数におけるものと同じか？
• RQ4 ヘルミート曲線 C 及びそのSylow p部分群 G に対して、商曲面 Y = G\(C × C) のピカール群およびコホモロジーの構造は何か？
• RQ5 G\(C × C) の最小解消におけるチャーン不変量は何か？

主な発見

• 任意の2次元野生的商曲面特異点の双対グラフには、少なくとも1つのノードが存在する。これはローレンツィーニの第一の問いに対して否定的である。
• ヘルミート曲線の自己同型群のSylow p部分群 G に対し、G\(C × C) の最小解消の双対グラフには、少なくとも2つのノードが存在する。
• 最小解消 S のオイラー標数は c₂ = e = q² + q + 6 であり、q = p^m は素数のべきである。
• 正則類の二乗は K_S² = -q² - q + 6 であり、この表面は有理的ではあるが、ルールドでないことが示される。
• ピカール数は ρ = q² + q + 4 であり、ドゥルガーチェフの公式およびテート・シオダの公式の両方を用いて計算された。
• 一般ファイバーのモーデル・ヴェイルランクは r = q - 1 であり、特異ファイバーの成分数は c = q² + 4 である。