[論文レビュー] Wildly perturbed manifolds: norm resolvent and spectral convergence

Colette Anné, Olaf Post|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、変化するヒルベルト空間上の作用素の一般化された収束枠組みを用いて、リーマン多様体上に次第に多数の小さな穴が開いた場合のラプラシアン＝ベルトラミー作用素のノルム・リゾルベント収束を確立する。穴の分布およびサイズの幾何的条件のもとで、ノイマン・ラプラシアンは元のラプラシアンに収束し、ディリクレ・ラプラシアンは密度の高い穴が集まった「固体的」領域の補集合上のディリクレ・ラプラシアンに収束する。収束誤差は穴の半径および間隔の観点から明示的に見積もられている。

ABSTRACT

Since the publication of the important work of Rauch and Taylor (Potential and scattering theory on wildly perturbed domains, JFA, 1975) a lot has been done to analyse wild perturbations of the Laplace operator. Here we present results concerning the norm convergence of the resolvent. We consider a (not necessarily compact) manifold with many small balls removed, the number of balls can increase as the radius is shrinking, the number of balls can also be infinite. If the distance of the balls shrinks less fast than the radius, then we show that the Neumann Laplacian converges to the unperturbed Laplacian, i.e., the obstacles vanish. In the Dirichlet case, we have two cases: if the balls are too sparse, the limit operator is again the unperturbed one, while if the balls concentrate at a certain region (they become "solid" in a region), the limit operator is the Dirichlet Laplacian on the complement outside the solid region. Our work is based on a norm convergence result for operators acting in varying Hilbert spaces developed by the second author.

研究の動機と目的

• 穴が次第に増加する多様体上のラプラシアン＝ベルトラミー作用素のスペクトルおよびリゾルベント収束を分析すること。
• コンパクト性や共通の定義域への埋め込みを仮定しないで、変化するヒルベルト空間上に作用する作用素への古典的リゾルベント収束理論を拡張すること。
• 穴の配置に応じた異なる状況（消える領域 vs. 固体化する領域）におけるノイマンおよびディリクレ・ラプラシアンの極限挙動を特定すること。
• 穴の半径、間隔、および調和半径やチューブ型近傍のサイズといった幾何的パラメータに依存する明示的な誤差見積もりを提供すること。

提案手法

• 変化するL2空間間の同定作用素JおよびJ′を用いた一般化されたノルム・リゾルベント収束の導入により、漸近的ユニタリ性およびリゾルベントの相互作用を保証する。
• Post（2012）の抽象的収束理論の応用により、スペクトル収束および関数計算の収束を確立する。
• 2次形式間のδε準ユニタリ同値性の導入により、摂動された作用素と元の作用素との距離を定量化する。
• 有界幾何構造を有する多様体上でのソボレフ埋め込みおよび楕円的正則性推移の推移を用いて、エネルギーの局所集中および拡張性を制御する。
• 切断関数およびチューブ型近傍の構成により、L2関数が小さな集合に集中しないことを分析する。
• 穴の半径ε、間隔ηε、およびパラメータγ∈(0,1)に依存する明示的誤差境界δε = O((ηmε/εm−2)(1−γ)/2)（m≥3の場合）および同様の式（m=2の場合）を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 穴がそのサイズに対して十分に離間している場合、多様体上に多数の小さな穴があるとき、ノイマン・ラプラシアンは一般化されたノルム・リゾルベントの意味で元のラプラシアンに収束するための幾何的条件は何か？
• RQ2 穴が収縮する多様体上でのディリクレ・ラプラシアンは、密度の高い穴が集まった「固体的」領域の補集合上で定義されたディリクレ・ラプラシアンに収束する条件は何か？
• RQ3 コンパクト性や共通の定義域への埋め込みを仮定しないで、変化するヒルベルト空間上に作用する作用素のスペクトル収束（固有値、固有関数）をどのように保証できるか？
• RQ4 調和半径および有界幾何構造が、ソボレフ埋め込みおよびエネルギー集中の均一な制御を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 収束速度に関する明示的誤差見積もりは、穴の半径ε、それらの間隔ηε、および構成におけるパラメータγにどのように依存するか？

主な発見

• 穴がそのサイズに対して十分に離間している場合、ノイマン・ラプラシアンは一般化されたノルム・リゾルベントの意味で元のラプラシアンに収束し、誤差δε →0（ε→0のとき）となる。
• ディリクレの場合、穴が疎であれば極限は再び元のラプラシアンとなるが、穴が集中して「固体的」領域を形成する場合には、補集合上でのディリクレ・ラプラシアンが極限となる。
• 収束は誤差境界δε = O((ηmε/εm−2)(1−γ)/2)（m≥3の場合）およびδε = O((η2ε|log ε|)(1−γ)/2)（m=2の場合）により定量的に評価され、γ∈(0,1)である。
• 収束はスペクトル収束を意味する：固有値およびスペクトル射影はコンパクト区間上で一様に収束し、固有関数は同定写像JおよびJ′の下でノルム収束する。
• 有界幾何構造および正の調和半径の下で結果が成り立ち、均一なソボレフ埋め込みおよび局所幾何の制御が保証される。
• 摂動された領域と元の領域が共通の空間に埋め込まれていない場合でも、この枠組みは適用可能であり、従来の研究で要求されていた埋め込み条件の制限を克服する。