[論文レビュー] Williams' decomposition of the Lévy continuous random tree and simultaneous extinction probability for populations with neutral mutations

Romain Abraham, Jean‐François Delmas|ArXiv.org|Apr 11, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、中立的突然変異を伴う集団の系統を分析するため、Lévy連続的ランダム木（CRT）のWilliams分解を確立し、全集団と祖先のEve集団が同時に絶滅することを示す。一般の分岐機構を有する連続状態ブランチ過程（CSBP）を用いて、探索過程と拡張測度を用い、同時絶滅確率の閉形式式を導出する。

ABSTRACT

We consider an initial Eve-population and a population of neutral mutants, such that the total population dies out in finite time. We describe the evolution of the Eve-population and the total population with continuous state branching processes, and the neutral mutation procedure can be seen as an immigration process with intensity proportional to the size of the population. First we establish a Williams' decomposition of the genealogy of the total population given by a continuous random tree, according to the ancestral lineage of the last individual alive. This allows us give a closed formula for the probability of simultaneous extinction of the Eve-population and the total population.

研究の動機と目的

• 祖先のEve集団とその中立的突然変異子孫の同時系統を連続的ランダム木（CRT）フレームワークを用いて特徴づける。
• 既知の結果を二次分岐機構のケースに限らず、無限変動を有する一般の劣臨界的または臨界的な連続状態ブランチ過程（CSBP）にまで拡張する。
• 全集団に最後に生き残る個体の祖先線を軸として、CRTにWilliams分解を確立する。
• 一般の分岐機構の条件下で、Eve集団と全集団が同時に絶滅する確率の閉形式表現を導出する。
• 拡張測度と探索過程を活用し、Eve集団からの移民を伴うCSBPにおける絶滅時刻と経路的ダイナミクスを分析する。

提案手法

• 連続状態ブランチ過程（CSBP）の系統をコードするため、高さ過程 $ H $ と探索過程 $ \rho_t $ を用いる。Le GallとLe Janのフレームワークを拡張する。
• 全集団過程 $ Y $ の分布を記述するために、標準測度 $ \mathbb{N} $ と拡張測度を適用し、$ \tau_Y $ をその絶滅時刻とする。
• 最後に生き残る個体の祖先線に沿ったCRTの分解を、最後の個体が誕生する時刻 $ T_0 $ を用いて導入する。
• ラプラス変換と積分方程式 $ \int_{u(\lambda,t)}^{\lambda} \frac{dv}{\psi(v)} = t $ の解 $ u(\lambda,t) $ を用いて、$ Y $ の分布を特徴づける。
• 絶滅時刻の分布を $ \mathbb{P}_x(\tau_Y < t) = \exp(-x \mathbb{N}[\tau_Y \geq t]) $ により導出し、$ c(t) = \mathbb{N}[\tau_Y \geq t] $ は $ \int_{c(t)}^{\infty} \frac{dv}{\psi(v)} = t $ を満たす。
• レベル $ a $ における全局所時刻 $ L^a $ と関数 $ w_m(t) $、$ w_m^*(t) $ を用いて、祖先線に沿った集団サイズの進化をモデル化し、拡張路線に沿った積分により最終式を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中立的突然変異を伴う集団において、祖先のEve集団と全突然変異子孫集団が同時に絶滅する確率は何か？
• RQ2 最後に生き残る個体の祖先線を用いて、中立的突然変異を伴う集団の系統はどのように分解できるか？
• RQ3 無限変動を有する一般のCSBPおよび確実に絶滅するCSBPに対して、Lévy連続的ランダム木のWilliams分解を適用可能か？
• RQ4 探索過程と拡張測度は、移民を伴うCSBPにおける絶滅時刻の特徴づけにどのような役割を果たすか？
• RQ5 分岐機構 $ \psi $ は、不可逆的突然変異を伴う多型CSBPにおける同時絶滅確率にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿は、無限変動を有する一般の劣臨界的または臨界的なCSBPおよび確実に絶滅するCSBPに対して、Eve集団と全集団の同時絶滅確率の閉形式式を確立する。
• 主な結果は、最後に生き残る個体の祖先線を軸とするLévy連続的ランダム木のWilliams分解に基づく。
• 同時絶滅確率は、分岐機構を含む常微分方程式系の解から得られる関数 $ w_m(0) $ の $ m \to \infty $ における極限 $ w(0) $ に等しいことが示された。
• 導出は、拡張測度の密度の同定と、レベル $ a $ における局所時刻の使用に依拠し、拡張路線に沿った積分により最終式が得られる。
• 従来、二次分岐機構（例：$ \psi(u) = \alpha_0 u + \beta u^2 $）に対してのみ知られていた公式が、$ \int^{\infty} \frac{dv}{\psi(v)} < \infty $ を満たすCSBPの全クラスに一般化された。
• 高さ過程 $ H $ がマルコフ過程ではないことに対応するため、探索過程 $ \rho_t $ と関連する測度値マルコフ過程を用いることで、本手法は効果的に対処した。